Series que no son Series de Fourier

Question

Cómo mostrar que $$ \sum_{n=2}^\infty \frac{\sin{(nx)}}{\log n} $$ no es la serie de Fourier de ninguna función?

He mostrado que la serie es convergente mediante el test de Dirichlet.

Sea $a(n)=\frac{1}{\log n}$. ¿Cuál es $\sum (a(n))^2$, para aplicar el teorema de Parseval?

Answer 1

Dado que $\Bigl\lvert\sum\sin(n x)\Bigr\rvert\leq M$ para $M<\infty$ y $\Bigl\{\frac{1}{\log(n)}\Bigr\}\to 0$ monótonamente, por el teorema de Dirichlet, $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{\log(n)}$ converge.

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Si $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{\log(n)}$ es una serie de Fourier, por el teorema de Parseval, existe una función Riemann integrable $f$ tal que $$ \int_{-\pi}^{\pi}\lvert f(x)\rvert^2dx=2\pi\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\log^2\lvert n\rvert} $$

Teorema:

Supongamos que $a_1\geq a_2\geq\cdots\geq 0$. Entonces la serie $\sum a_n$ converge si y solo si $\sum 2^ka_{2^k}$ converge. $$ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^k}{k^2\log^2(2)}\geq\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{k}=\infty $$

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Por lo tanto, por el test de condensación de Cauchy, la serie $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\log^2\lvert n\rvert}$ no converge, lo cual contradice el teorema de Parseval. Así, $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{\log(n)}$ no es una serie de Fourier.

Answer 2

Supongamos que es la serie de Fourier de $f(x)$ en $(-\pi,\pi)$, es decir, $$ f(x)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\sin(nx)}{\log n},\quad x\in(-\pi,\pi).$$ Entonces, por la Identidad de Pareraval, $$\int_{-\pi}^\pi f(x) \, dx=\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\log^2n}=\infty.

$$