$f(z)$ es definida de la siguiente forma: $$ f(z) = \frac{z}{(z-1)(z-3)} $$ Necesito encontrar una serie de $f(z)$ que implica positivos y negativos de los poderes de $(z-1)$, que converge a $f(z)$ al $0 \leq |z - 1| \leq 2$.
Lo que yo entiendo de la pregunta es debo expandir $f(z)$ Laurent de la serie.
$$ f(z) = \sum_{m=0}^{\infty}a_{m}(z-1)^{m} + \sum_{m=1}^{\infty}b_{m}(z-1)^{-m}$$
donde,
$$ a_{m} = \frac{1}{j2\pi}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-1)^{m+1}}dz $$
$$ b_{m} = \frac{1}{j2\pi}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-1)^{1-m}}dz $$
Esto es lo que la teoría me dice.
Pero yo se aplican parcial fracción método para esta función como esta:
$$ f(z) = \frac{z}{(z-1)(z-3)} = \frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-3z^{-1})} = \frac{-1/2}{(1-z^{-1})} + \frac{1/2}{(1-3z^{-1})} $$
Y sé que esta expansión de la serie de la z-transformar como este:
$$ f(z) = -\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty}z^{-k} + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty}3^{k}z^{-k}$$
Puedo obtener una expansión de la serie, pero parece que Mclaurin de la serie no Laurent de la serie.
Aquí, mi primera pregunta una expresión puede tener diferente tipo de expansión de la serie?
Y segundo, ¿cómo encontrar una Laurent serie de $ f(z) $
