Desigualdad con dos valores absolutos

Question

Soy nuevo aquí, y me preguntaba si alguno de ustedes me podría ayudar con este pequeño problema que ya está poniendo de los nervios desde que he estado tratando de resolver por horas.

Estudiar para mi prueba siguiente sobre las desigualdades con valor absoluto, creo que este es uno:

$$ |x-3|-|x-4|<x $$ (Yo precisamente la desigualdad en este sitio web, aquí para ser precisos, pero, el problema es que cuando trato de resolverlo, mi respuesta no ser $(-1,+\infty)$, pero $(1,7)$. Tomé las mismas desigualdades que el autor de la pregunta la maestra le había dado y, a continuación, poner en una línea de número, y mi resultado fue, definitivamente, no $(-1,+\infty)$

Aquí están las desigualdades: $$ x−3 < x−4 +x $$ $$ x−3 < −(x−4) +x $$ $$ −(x−3)<−(x−4)+x $$

Y aquí están mis respuestas, respectivamente: $$ x>1, \quad x>-1, \quad x<7 $$

Yo realmente apreciaría si alguien me pudiera ayudar, porque yo ya estoy estresado lidiar con este problema, que por cierto, no es que me exigieron que les resolverlo, pero usted sabe, ¿por qué no?

Answer 1

Cómo solucionar $|x-3|-|x-4|<x$? Deje $f(x)=|x-3|-|x-4|$

Me gustaría empezar por señalar $|x-3|=x-3$$x \geq 3$, mientras que de $|x-3|=3-x$$x \leq 3$. Asimismo, $|x-4|=x-4$$x \geq 4$, mientras que de $|x-4|=4-x$ $x \leq 4$

1. si $x \geq 4$ $x > 3$ por lo tanto $f(x)=x-3-(x-4)=1$ y nos encontramos con $1<x$ que es verdad en este caso. Esto pone a $[4,\infty)$ en el conjunto solución de la desigualdad.

2. si $x \leq 3$ $x < 4$ por lo tanto $f(x)=3-x-(4-x)=-1$ y nos enfrentamos a $-1<x$ lo cual es cierto para cada una de las $x$$-1<x\leq 3$. Esta muestra $(-1,3]$ también está en el conjunto solución de la desigualdad.

3. si $3<x<4$$f(x) = x-3-(4-x)=2x-7$. Por tanto, en este contexto debemos resolver $2x-7<x$ da $x<7$ lo cual es cierto para cada una de las $x$ en el intervalo considerado. Esto coloca a $(3,4)$ en el conjunto solución de la desigualdad.

Poner todo esto junto, obtenemos $(-1,3] \cup (3,4) \cup [4,\infty) = (-1, \infty)$ cual es la respuesta. Por lo general, resolver este tipo de cosas con un signo gráfico de método.

Answer 2

El nivel semi-mecánico manera de eliminar el valor absoluto de los signos es dividir el número de línea en segmentos. El punto crítico para$|x-4|$$x=4$, y el punto crítico para$|x-3|$$x=3$.

Supongamos primero que $x \ge 4$. A continuación,$|x-4|=x-4$$|x-3|=x-3$. Así que estamos mirando en la desigualdad de $(x-3)-(x-4)\lt x$, que es, a $1\lt x$, lo que es cierto para $x\ge 4$.

Ahora supongamos que $3\le x\lt 4$. A continuación,$|x-4|=4-x$$|x=3|=x-3$, por lo que estamos buscando en la desigualdad de $(x-3)-(4-x)\lt x$, $2x-7\lt x$. Esto se simplifica a $x\lt 7$, lo cual es ciertamente verdadero en el intervalo de $[3,4)$.

Probablemente es en este punto que su cálculo se extraviaron. Estábamos buscando en el intervalo de $[3,4)$ y preguntando qué puntos en este intervalo satisfechos con nuestra desigualdad. La manipulación nos dijo que era de todos los puntos de ese intervalo de tiempo que satisfecho $x\lt 7$. Bueno, todos lo hacen!

Por último, supongamos que el $x\lt 3$. A continuación,$|x-4|=4-x$$|x-3|=3-x$. Así que estamos mirando en la desigualdad de $(3-x)-(4-x)\lt x$. Calcular. El lado izquierdo es $-1$, por lo que en el intervalo de $(-\infty,3)$, la desigualdad se cumple precisamente al $-1\lt x$.

Poniendo las cosas juntos, llegamos a la conclusión de que la desigualdad original tiene (i) si $x\ge 4$; (ii) si $3\le x\lt 4$; y (ii) si $x\lt 3$ pero $-1\lt x$. Este complicado conjunto de condiciones se pueden resumir mucho más simplemente como $x\gt -1$.

Hay otras maneras de describir el conjunto de soluciones. Por ejemplo, podríamos decir que el conjunto es $(-1,\infty)$.

Answer 3

Lo que tiene es casi correcta, el último paso es el de restringir su solución a la región correspondiente.

Por ejemplo, para $x>1$, la respuesta debe ser en el $x>4$ región, por lo que su respuesta final es $x>4$.

Para $x>-1$, su respuesta debe ser en $x<3$ región, por lo que su respuesta final es $-1<x<3$.

Y por último, $x<7$, su respuesta debe estar en la región correspondiente, primero tuvimos, es decir,$3<x<4$, por lo que su respuesta final es $3<x<4$.

Ahora dibuje estas tres respuestas definitivas sobre el número de línea y tendrás $x>-1$ como se desee.

Answer 4

Aquí es una manera de hacerlo.

Si $x\ge4$ y $|x-3|=x-3$ y $|x-4|=x-4$, por lo que $(x-3)-(x-4)\lt x$, que usted debe ser capaz de resolver (recordar comprobar su solución contra el supuesto $x\ge4$.

Si $3\le x\le4$ y $|x-3|=x-3$ y $|x-4|=4-x$, por lo que se...

Si $x\le3$, entonces el $|x-3|=\dots$

Answer 5

$|x-3|-|x-4|< x$, Escribo en $|x-3|< x+|x-4|$

pero recuerde: $|r|< s \implies -s < r < s$.

Así que escribe la ecuación en la forma: $-x-|x-4| < x-3 < x+|x-4|$.

A partir de esta desigualdad puedo obtener 2 ecuaciones:

(a) $-x-|x-4| < x-3$

(b) $x-3 < x+|x-4|$.

Recuerde : $|r| > s \implies r > s \text{ or } r < -s $.

Por lo que este concepto voy a aplicar a la ecuación (a) y la ecuación (b).

A partir de la ecuación (a):

$-x-|x-4| < x-3$ I escribir por lo que en valor absoluto es en un lado: -|x-4| < 2x-3 luego me multiplicar por -1 : |x-4| > -2x+3 . Ahora me escribe la ecuación en la forma de: |i| > s\begin{align} \max_{p_{n+1}\le N }(p_{n+1}-p_{n}) &\approx \frac{N}{\pi(N)}(2\log \pi(N) -\log N+\log 2C_2) \\ &\approx \log N(\log N-2\log\log N+\log 2C_2) \end> r > s O r < -s .Como resultado se obtiene 2 adicionales ecuación: x-4 > -2x+3 x-4 < 2x-3 . A partir de la primera: 3x > 7 --->x > 7/3 o (7/3,∞) . A partir de la segunda desigualdad: -1 < x o (-1,∞) .La primera y la segunda desigualdad O de la función a continuación: (7/3,∞) U (-1,∞) es: (-1,∞)

Ahora la ecuación (b): x-3 < x+|x-4| escribimos para poner en valor absoluto en uno de los lados: $-3 < |x-4|$ o $|x-4| > -3$ . Para satisfacer esta desigualdad $x$ va a tomar cualquier valor positivo o negativo. Como resultado, podemos escribir el resultado el valor de $x$ para la ecuación (b): $(-∞,+∞)$

El resultado final de la ecuación (a) Y (b) será la intersección de su valor: $(a)∩(b)$ o $(-1,∞)∩(-∞,∞)$ y encontrar el resultado final para $x: (-1,∞)$ que satisfacen la desigualdad $|x-3|-|x-4| < x$