¿Por qué ser diferente de 1 $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$?

Question

Hay un teorema que «$\forall_{n}: a_n>0 ~and~ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}=L \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}n]{a_n}=L$.

El lado izquierdo de la instrucción también implica que el $a_n$ no converge a un límite finito? (desde entonces si $a_n$ tiene un límite de $L$ entonces $a_{n-1}$ tiene el exacto mismo límite $L$. Ahora, una serie $c_n=\frac{a_n}{b_n}$ tiene un límite de $L_c=\frac{L_a}{L_b}$. Así, $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{L}{L}=1$). Entonces converge de $a_n$ $\infty$ o no en todos los casos restantes.

Answer 1

Consejo: definir $a_n=1/2^n, a_n/a_{n-1}=1/2$ pero las secuencias converge hacia 0

Answer 2

Básicamente, el lado izquierdo es la misma como la prueba de razón. Así que en otras palabras si $L < 1$ a continuación, se van a converger. Si $L > 1$ no convergen. Si $L=1$, entonces usted necesita otra prueba.

Lo que es confuso es que $\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \frac{L_a}{L_b}$ si los límites de $a_n$ $b_n$ existen y $L_b \neq 0$.

Así que, básicamente, cualquier secuencia que tiene un límite que va a cero o el infinito significa que la prueba de razón de no tener que ir a uno.

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Edit: aunque la proporción de la prueba es para la serie sigue siendo cierto que si la serie converge, entonces la secuencia debe converger (a cero).

Answer 3

El problema en su argumento radica en el hecho de que cuando la secuencia converge, $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$. Así, para $$L=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}\ne\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}{\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n-1}}$ $ como tenemos los $\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n-1}=0$.

Por lo tanto, usted no consigue en el % de forma $\frac{L}{L}=1$.