¿Cuál es la diferencia entre el cuadrado de la suma y suma de cuadrados?

Question

¿Cuál es la diferencia entre el cuadrado de la suma de $(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2$ y suma de cuadrados $\sum_{i=1}^{n}x_i^2$?

Creo que el cuadrado de la suma es mayor que la suma de cuadrados pero no puedo encontrar a una relación entre ellos.

Quiero decir:

$$\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2=\sum_{i=1}^{n}x_i^2+?$$

Answer 1

Si $x_i\ge 0$, $$\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i x_j=\sum^{n}_{i=1}x_i^2+\sum^n_{i=1}\sum_{j=1,j\not=i}^n x_i x_j\ge \sum_{i=1}^n x_i^2$ $ entonces por otra parte, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,$$ \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2=\left(\sum_{i=1}^n 1\cdot x_i\right)^2\le n\cdot\sum_{i=1}^{n} x_i^2 así que si $n$ es fijo, la suma de cuadrados y el cuadrado de la suma son cantidades equivalentes, es decir, se puede estimar contra otro perder sólo una constante multiplicativa.

Answer 2

Literalmente la diferencia es capturado por un caso especial del, fórmula $$\sum_{i n de Cauchy = 1} ^ {n} x_i ^ \bigg 2 - (\sum_{i = 1} ^ {n} \bigg)^2 x_i = \tfrac 12 \sum_{i = 1} ^ {n} \sum_{j = 1} ^ {n} (x_i - x_j) ^ 2$$ Nota que Cauchy-Schwarz es una consecuencia. El caso general está disponible aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality#Rn