¿Son $\pi$ y $\ln(2)$ linealmente independientes sobre números racionales?

Question

¿Son $\pi$ y $\ln(2)$ linealmente independientes sobre números racionales? ¿Hay alguna pruebas de cualquier manera, o los resultados parciales?

Answer 1

Sí, $\{\pi,\ln(2)\}$ es linealmente independiente sobre $\mathbb Q$, pues si $r\pi = s\ln(2)$ eran verdadero racional $r$ y $s$, entonces el $e^\pi = 2^{s/r}$ algebraicas, pero no lo es.