Dadas $\lim\limits_{x\to a}{f^\prime(x)}=\infty$, ¿qué puede concluirse acerca de $f(a)$?

Question

Una pregunta relacionada a esta pregunta, me estoy preguntando $$\lim_{x\to a}{f^\prime(x)}=+\infty,$$ what can be concluded about $f(a)$? Does this invalidate that $f(x)$ is not continuous at $$ because of the non-existence of $f^\prime(un)$? Does this condition also imply maybe $$\lim_{x\to a}{f(x)}=+\infty?$$

Yo creo que $$\lim_{x\to a}{f(x)}=+\infty,$$ because here $f(a+h)-f(a)$ can be arbitrarily large no matter how small $h$ es.

EDITAR

Bueno, veo que estaba equivocado. Aunque $$\lim_{x\to a}{f^\prime(x)}=+\infty,$$ it does not mean $f(a+h)-f(a)$ is arbitrarily large, because an $\infty$ veces una cantidad infinitesimal no puede ser determinada.

Me pregunto otra pregunta relacionada: dado $$\lim_{x\to a}{f(x)}=+\infty,$$ what can be concluded to $f^\prime(a)$? Can it be finite or non-existent? How about also when $=\infty$ en este caso.

Answer 1

Considere la posibilidad de $f(x)=\sqrt[3]{x}$, $a=0$. La derivada se extiende hacia el infinito, pero la función es continua. La gráfica tiene una tangente vertical de la línea de a $(0,0)$.

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Para tu segunda pregunta, si $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}$, $f(a)$ no puede ser definido de manera tal que $f$ continua en $a$, y por lo tanto la derivada en $a$ no puede existir. Se puede concluir que el derivado cerca de $a$, si existe, sería ilimitado de arriba a la izquierda de $a$ e ilimitada de abajo a la derecha de $a$, por el valor medio teorema.

Si $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}$, entonces es posible que $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f'(x)}$ existe y es finito. E. g., $f(x)=x$ o $\sqrt[3]{x}$ nuevo. Pero podría hacer un montón de cosas. Usted puede estar seguro de que si $f'(x)$ existe en todas partes, entonces el conjunto de $x$ donde $f'(x)>0$ es ilimitado, por el valor medio teorema.

Answer 2

No, $f(x)$ todavía puede ser continuo. Pensar en $f(x)=1-\sqrt{|x|}$. Los límites derivados del $+\infty$ de la izquierda (y $-\infty$ de la derecha) en $x=0$, pero la función es todavía continua. Sólo tiene un cambio de signo en $0$.