¿Ejemplos de adjunciones categóricas en análisis y geometría diferencial?

Question

En muchos textos introductorios sobre teoría de categorías, parece que la mayoría de los ejemplos proceden de la topología algebraica, el álgebra y la lógica. ¿Existen buenos ejemplos de adjunciones en análisis y geometría diferencial (incluida la teoría de Lie)? Obviamente tenemos productos, coproductos, etc., pero son comunes a muchas de las categorías con las que trabajamos. ¿Hay ejemplos más específicos del análisis y la geometría diferencial?

(Envío cruzado a Desbordamiento matemático )

Answer 1

He aquí un buen ejemplo: Considere la categoría $\mathsf{Ban}_1$ de álgebras de Banach con mapas lineales cortos. Tenemos un functor $B_1 : \mathsf{Ban}_1 \to \mathsf{Set}$ que mapea un espacio de Banach a su bola unitaria. Tiene un adjunto izquierdo. Este adjunto izquierdo mapea un conjunto $X$ al espacio de Banach $\ell^1(X)$ de funciones sumables en $X$ . Desde $\ell^1$ es adjunto a la izquierda, vemos inmediatamente $\ell^1(X \sqcup Y) \cong \ell^1(X) \oplus \ell^1(Y)$ .

La unitalización para anillos también puede realizarse para álgebras de Banach. Esto proporciona un functor $\mathsf{BanAlg} \to \mathsf{1BanAlg}$ que es adjunto izquierdo al functor olvido.

En la teoría de las álgebras C* surge otra adjunción: Consideremos la categoría $\mathsf{Alg}^*$ de $*$ -(sobre $\mathbb{C}$ ) y la categoría $\mathsf{Top}$ de espacios topológicos. Entonces, el functor $\mathsf{Top} \to (\mathsf{Alg}^*)^{\mathrm{op}}$ , $X \mapsto C(X,\mathbb{C})$ es adjunto por la izquierda al functor $\Phi : (\mathsf{Alg}^*)^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Top}$ que asigna un $*$ -álgebra $A$ a su espacio de caracteres $\Phi(A)$ cuyo conjunto subyacente es el conjunto de $*$ -homorfismos $A \to \mathbb{C}$ y que está dotada de convergencia puntual. Toda adjunción se restringe a una equivalencia de categorías entre sus puntos fijos, que vienen determinados por el teorema clásico de Gelfand-Naimark: Espacios Hausdorff compactos y conmutativos $C^*$ -álgebras.