¿Cómo se resuelve una ecuación que involucra el piso de un número?

Question

Estoy buscando un procedimiento de solución para este tipo de ejercicios.

Si $[x]$ representa el piso de $x$ resolver la ecuación:

$$\left[\frac{6x+5}8\right]=\frac{15x-7}5$$

Elija la respuesta correcta:

a) { $\frac{4}5$ }

b) { $\frac{3}4$ }

c) { $\frac{7}{15}$ , $\frac{4}5$ }

d) { $\frac{6}{15}$ }

e) { $\frac{1}{2}$ , $\frac{3}4$ }

f) { $\frac{1}{2}$ , $\frac{4}5$ }

¿Puede alguien explicarme cómo puedo resolver esta ecuación? ¡Muchas gracias!

ps. Hice una pregunta similar, desafortunadamente, el mismo método no parece funcionar.

Answer 1

Si realmente quieres resolverlo sin usar el hecho de que es de opción múltiple, nota que la parte fraccionaria de $\frac{6x+5}{8}$ es $Q=\frac{6x+5}{8}-\frac{15x-7}{5}$ . Desde $Q$ es una parte fraccionaria, $0 \leq Q < 1$ deberías ser capaz de trabajar hacia atrás para encontrar límites en $x$ . Una vez que tienes esos límites, la observación de Ilya de que $3x-7/5$ es un número entero significa que sólo hay finamente muchos valores de $x$ tienes que preocuparte por la comprobación, así que pruébalos todos (o escribe un programa para hacerlo por ti).

Answer 2

Si $x$ es una solución que tenemos $$ 0 \le \frac {6x + 5} 8 - \frac {15x - 7} 6 < 1 $$ y así $41/90 < x \le 9/10$ y $$ 87/90 < \frac {6x + 5} 8 \le 13/8 $$ Evidentemente $\lfloor \frac{6 x+ 5} 8 \rfloor$ sólo puede ser 0 o 1.

Ahora sólo tienes que resolver la ecuación reemplazando el lhs con esos valores.

Answer 3

Desde $\frac{15x-7}{5}$ se requiere que sea un número entero, es de la forma $\frac{2+5j}{15}$ para $j$ un entero arbitrario. Así, la ecuación a resolver se convierte en $$ \left\lfloor\frac{6\big(\frac{2+5j}{15}\big)+5}{8}\right\rfloor = \frac{15\big(\frac{2+5j}{15}\big)-7}{5}\qquad\text{which simplifies to}\quad \left\lfloor\frac{\frac{4}{5}+2j+5}{8}\right\rfloor = j-1 $$ Ahora observen que la función del lado derecho aumenta más rápido que la función del lado izquierdo. Así que podemos resolver la cuestión encontrando una solución máxima a la desigualdad $$ j-1\leq\left\lfloor\frac{\frac{4}{5}+2j+5}{8}\right\rfloor $$

Una advertencia: Pero aquí debemos tener cuidado, porque una solución máxima a esta desigualdad no es necesariamente una solución a nuestra igualdad. Además, podría haber más soluciones que sólo la solución máxima $j_0$ a esta desigualdad. Pero como el lado izquierdo y el derecho son lineales en $j$ el conjunto de soluciones forma un intervalo en $\mathbb{Z}$ . Esto significa que para dar todas las soluciones, basta con encontrar el mayor entero debajo $j_0$ para el cual la desigualdad es estricta.

Tenga en cuenta que para cualquier $n\in\mathbb{Z}$ y $a\in\mathbb{R}$ el desigualdad $n\leq\lfloor a\rfloor$ se mantiene si y sólo si $n\leq a$ se mantiene. Esto ayuda, ya que ahora podemos seguir computando $$ \begin{split} j-1 \leq \left\lfloor\frac{\frac{4}{5}+2j+5}{8}\right\rfloor & \Leftrightarrow j-1 \leq \frac{\frac{4}{5}+2j+5}{8}\\ & \Leftrightarrow 8j-8\leq \frac{4}{5}+2j+5\\ & \Leftrightarrow 10j\leq 23\\ & \Leftrightarrow j\leq 2. \end{split} $$ Por lo tanto, obtenemos la solución máxima de la ecuación sustituyendo $j=2$ en $x=\frac{2+5j}{15}$ es decir. $x=\frac{4}{5}$ . Esto es, en efecto, una solución a la igualdad. Como hemos señalado antes, $\frac{4}{5}$ no es necesariamente la única solución. De hecho, es fácil comprobar que $j=1$ también da una solución a la ecuación. Pero para $j\leq 0$ la desigualdad es estricta, por lo que las únicas soluciones a la ecuación son $x=\frac{4}{5}$ y $x=\frac{7}{15}$ .

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Aquí está el enlace a la respuesta a otra pregunta donde el oficial de operaciones tenía que ocuparse de la función de suelo. Tal vez lo encuentres útil.

Answer 4

Deje que $\mathbb{Z} \ni k = \lfloor \frac{6 x+ 5}{8} \rfloor$ . Entonces la ecuación dice $x = \frac{k}{3} + \frac{7}{15}$ . Ahora escribimos la ecuación para $k$ : $$ k = \left\lfloor \frac{k}{4} + \frac{39}{40} \right\rfloor $$ Ahora queda por probar unos pocos valores pequeños de $k$ . Valores $k=0$ y $k=1$ hacer ejercicio.

Estos corresponden a $x = \frac{7}{15}$ y $x=\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ .

Answer 5

Cuando tienes que elegir entre diferentes respuestas, no necesitas resolver la ecuación, sólo necesitas probar las respuestas propuestas.