Encontrar el límite de $\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$

Question

Encontrar el límite de: $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$ $

Estoy seguro de va a cero desde $(n+1)^n > n^n$ pero cuando grandes números de la entrada va a $0.36$.

También, cuando factoring: $$n^{1/n}\left(\frac{1}{1+\frac1n}\right)^n$$ it looks like it goes to $1$.

¿Cómo puedo encontrar este límite?

Answer 1

Answer 2

¿Sabías que $\lim_{n\rightarrow \infty} (1+1/n)^n =e$? Esto que se puede utilizar para encontrar el límite.

Answer 3

Llegué a este problema un poco diferente a las otras respuestas. Queremos encontrar $$L = \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n.$$ Puesto que la expresión dentro del límite siempre es positivo, se debe ser capaz de llevar el registro de límite de resolverlo (sólo tenemos que recordar a transformar de nuevo en la final). $$\begin{align} \log(L) = & \lim\limits_{n \to \infty} n \log \left( \frac{n}{n+1} \right) \\ = & \lim\limits_{n \to \infty} n \log \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right). \end{align}$$ Ya estamos tomando el límite de$\log(1 + x)$$x \to 0$, lo que realmente nos preocupa es el primer fin de comportamiento de $\log(1 + x)$, por lo que tomamos la serie de Taylor: $$\log(1 + x) = x + O(x^2),$$ donde $O(x^2)$ indica mayor orden de los términos (de segundo orden y superior). Por lo $\log(1 + x) \approx x$ para las pequeñas $x$ ($x \approx 0$). Sustituyendo de nuevo en nuestro límite: $$\begin{align} \log(L) = & \lim\limits_{n \to \infty} n \left( -\frac{1}{n+1} \right) \\ = & -1. \end{align}$$ Por lo tanto,$L = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

Answer 4

Sugerencia: