¿Qué significa?

Question

Me estaba preguntando, ¿qué $x^\pi$ o en este caso, $x$ a cualquier medio de número irracional? Por ejemplo, quiero representar $x^2$ entonces eso significaría $x * x$ o si quiero hacer $x^\frac{2}{3}$ entonces eso significaría primero cuadrado cubo entonces la raíz él pero ¿qué significa esto para los números de irrantional como $\pi$?

¡Gracias!

Answer 1

Desde una perspectiva muy abstracta, la posición $$x^\pi = e^{\pi \log x}$$ is a circular definition: after all $e $ is as much a real number as $x$. Hay dos formas de romper este cirle:

1. $e^{\pi \log x}$ $\exp (\pi \log x)$, significa que siempre han definido la función exponencial de manera independiente;
2. Estudiamos los teoría los números reales, que incluye la construcción de $b^x$ $b>0$ y $x \in \mathbb{R}$. Esto no es trivial en absoluto, como puede verse en principio de W. Rudin del análisis matemático.

Answer 2

Es mejor pensar en él como algo

$$x^{\pi} = e^{\pi \log{x}}$$

Answer 3

En definitiva, no es nada cerca tan agradable como es el caso racional. Si estamos ante un número irracional $\alpha$, entonces $$x^\alpha:=\underset{r\to\alpha}{\lim_{r\in\Bbb Q}}x^r,$$ so long as this limit is defined (for example, it doesn't work when $x$ is negative, and it doesn't work when $x=0$ and $\alpha$ es negativo).

Alternativamente, es a veces más beneficiosos definirlo como $$x^\alpha:=e^{\alpha\ln x}.$$ These are equivalent definitions for $ x > 0$. We can even do a bit better and define $$x^\alpha:=\lim_{t\to x^+}e^{\alpha\ln t}.$$ That definition works precisely when the original definition does--namely, whenever $ x > 0$, and whenever $x=0$ and $\alpha > 0 $. Of course, both of the latter two definitions do require some independent definition of $e ^ w $, such as $% $ $e^w:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac wn\right)^n.$

Answer 4

Ron ya dio la respuesta canónica: $x^\alpha = e^{\alpha \log{x}}$ por definición y luego usted puede referirse a las propiedades muy agradables de $e^x$. Si lo prefiere, piense en dos series aproximan de números racionales $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ convergiendo desde arriba y desde abajo a $\pi$, calcular el $\{x^{a_n}\}$ y $\{x^{b_n}\}$ y ver que realmente convergen a un único valor.

Por lo menos en cuanto a mi respecta, no hay mucha diferencia de preguntar qué $x^\alpha$ y pidiendo que un número irracional %#% es #%.