Distribución nearring

Question

Un nearring es un anillo de estructura similar a $R$ tal que

• $(R, +, 0)$ es un grupo (posiblemente no abelian)
• $(R, \cdot)$ es un semigroup
• $(x+y)\,z=xz+yz$ (distributividad)

En otras palabras, las tres condiciones que pueden no diferir de un anillo real:

1. Además puede ser no-conmutativa
2. Puede ser que no exista identidad multiplicativa
3. A la izquierda-la distributividad puede fallar

Es bastante fácil dar ejemplos de nearrings para que arbitraria de subconjuntos de estas 3 condiciones, no obstante, mantener, a excepción de (2)+(3) y puro (3). Es bien sabido que la existencia de la identidad y de dos caras, la distributividad implica (1) (2)+(3) sin (1) es imposible. ¿Qué acerca de pure (3)?

Pregunta: ¿hay totalmente distributiva nearrings con no abelian aditivo subgrupos?

Algunas ideas:

Tal nearrings necesariamente son bastante raros. La adaptación de la prueba usual de que (2)+(3) implica (1), podemos afirmar que la $$ un\,((x+y)-(y+x))=0 $$ para todos los $x,y,z\in R$. Esto parece un muy buen condición, incluso a pesar de la falta de identidad multiplicativa no nos permiten concluir inmediatamente $x+y=y+x$.

Definición de Dejar a la izquierda-la distribución de elemento $a\in R$ tal que $a(x+y)=ax+ay$ todos los $x, y\in R$

Todos nearrings son isomprhic a los subconjuntos de a $M(G)$ - nearring de funciones de grupo $G$ a sí mismo con pointwise adición y la composición como en la multiplicación. A la izquierda-la distribución de los elementos son precisamente endomorphisms. Aún así, el conjunto de endomorphisms contiene identidad (probablemente el obstáculo menor), y para nonabelian $G$ no es un sub-nearring de $R$ (gran problema). Producto de la izquierda-la distribución de los elementos a la izquierda la distribución, pero la suma de la izquierda-la distribución de los elementos puede no ser, por lo que el sub-nearring generado por endomorphisms en general más probable es que no satisface (3). Sub-nearring generado por endomorphisms asignación de $G$ $Z(G)$haría el truco, pero además sería abelian.

Answer 1

Considerar el grupo diedro $D_4=\langle a,b :a^4, b^2, (ab)^2\rangle$. Definición de $x+y=xy$ y $x\cdot y=[x,y]$. Reclamo: $(D_4,+,\cdot)$ es un anillo junto a la distributivo.

Recordar conmutador identidades $[xy,z]=[x,z]^y[y,z]$ y $[z,xy]=[z,y][z,x]^y$. Tenga en cuenta que el subgrupo conmutador coincide con el centro. Así que tenemos $[xy,z]=[x,z][y,z]$ y $[z,xy]=[z,y][z,x]=[z,x][z,y]$. Esto se traduce en $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$ y $z\cdot(x+y)=z\cdot x+z\cdot y$.

Más generalmente, esto funciona para cualquier grupo de la nilpotence clase 2. Para más información ver este artículo: Heatherly, H. E. Distributive cerca de los anillos. Cuarto de galón. J. matemáticas. Ser. Oxford (2) 24 (1973), 63-70.