¿Topología genérica en un espacio vectorial?

Question

Para un espacio vectorial (posiblemente de dimensiones infinitas) $V$ Pensé en la siguiente topología $ \tau $ : Deje que $O \in \tau $ si cada $x \in O$ tiene la propiedad de que por cada $v \in V$ hay un $ \epsilon > 0$ de tal manera que $x + \alpha v \in O$ para cada $ \alpha $ con $| \alpha | < \epsilon $ . Esto da una topología de hecho (¿cierto?). Creo que en los espacios vectoriales de dimensiones finitas, esto da la topología estándar (¿cierto?).

¿Qué hay de los espacios vectoriales de dimensiones infinitas? ¿Hay un nombre para esta topología? Para mí, esto parece una forma muy genérica de definir una topología en un espacio vectorial, pero nunca he visto esta definición de una topología. ¿Hay alguna conexión con las topologías localmente convexas? (No estoy muy familiarizado con este concepto) ¿Es esta topología importante en cualquier aplicación?

Answer 1

Esto no es una respuesta. Más bien, permítanme explicar otra forma canónica de dotar a los espacios vectoriales de una topología.

Sea $V$ sea un espacio vectorial sobre los números reales $\mathbf{R}$ . (Puede sustituir $\mathbf{R}$ por cualquier campo topológico en todo lo que sigue, aunque para las propiedades del final necesitarás que tu campo topológico sea completo de característica cero y Hausdorff).

Supongamos que $V$ es de dimensión finita. Cualquier isomorfismo $V\cong \mathbf{R}^n$ dota $V$ con una topología compatible con la estructura del espacio vectorial, donde dotamos a $\mathbf{R}^n$ con la topología del producto. (Este isomorfismo se reduce a la elección de una base para $V$ .) Es fácil ver que esta topología es independiente del isomorfismo elegido.

Ahora bien, en general, si $V$ no es finito-dimensional, se puede dotar a $V$ con la "topología límite inductiva". Esta topología se caracteriza por la siguiente propiedad:

Un mapa $f:V\to A$ es continua si y sólo si su restricción $f|_{W}:W\to A$ a todo subespacio de dimensión finita $W$ de $V$ es continua.

Es una consecuencia directa de las definiciones que la inclusión $W\to V$ de un subespacio de dimensión finita $W$ de $V$ es continua. En términos más generales, cualquier $\mathbf{R}$ -mapa lineal $V_1\to V_2$ de espacios vectoriales dotados de la topología límite inductiva es continua.

Propiedades:

1. Cualquier espacio vectorial de $V$ está cerrado.

2. La topología es Hausdorff.

3. Sea $K\subset V$ ser compacta. Entonces $K$ está contenido en un subespacio de dimensión finita de $V$ .

Las dos primeras propiedades no son tan difíciles de demostrar. De hecho, para demostrar que $V$ es Hausdorff proceda como sigue. Sea $x$ y $y$ estar en $V$ . Consideremos el subespacio $W$ generado por $x$ y $y$ . Elegir una base para $V$ le da una proyección $p:V\to W$ . Esta proyección es continua. Sea $U_x$ ser un abierto de $W$ que contiene $x$ y $U_y$ un abierto de $W$ que contiene $y$ tal que $U_x\cap U_y$ es vacío. (Aquí se utiliza que el campo base es Hausdorff.) Entonces $p^{-1}(U_x)$ y $p^{-1}(U_y)$ separar $x$ y $y$ en $V$ .

La tercera es un poco más complicada. Tendrás que usar que el campo base es completo y de característica cero.