Anillos de enteros de campos de funciones

Question

Puede que sea una pregunta algo tonta e intrascendente, pero ha despertado mi curiosidad. Se tiene el teorema en álgebra conmutativa de que el cierre integral de un dominio $A$ en su campo de fracciones $Q(A)$ es la intersección de todos los subrubros de valoración de $Q(A)$ que contiene $A$ . Esto lleva naturalmente al impulso de definir el anillo de enteros de un campo arbitrario $k$ independientemente de cualquier subring particular, para ser la intersección de todos los subrings de valoración de $k$ . En realidad, lo que se hace aquí es tomar el cierre integral del anillo primo, es decir, el mínimo subringa integralmente cerrada. Esto da la respuesta que uno esperaría para $\mathbb{Q}$ y para los campos numéricos. Creo que el anillo de enteros bajo esta definición de $\mathbb{C}$ es $\overline{\mathbb{Z}}$ y el anillo de enteros de $\mathbb{R}$ es $\overline{\mathbb{Z}} \cap \mathbb{R}$ . Hasta ahora, todo va bien.

Ahora la pregunta es: ¿qué pasa en la geometría algebraica? Podríamos preguntar sobre el anillo de enteros $\mathcal{O}$ del campo de la función $Q(A)$ de una variedad afín irreducible $\textbf{Spec }A$ sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ y esperar ingenuamente que coincida con $A$ pero puede haber muchas subalgebras de $Q(A)$ cuyo campo de fracciones es $Q(A)$ y a lo sumo uno de ellos será su anillo de enteros. ¿Podemos caracterizar geométricamente aquellas variedades afines cuyo anillo de coordenadas es el anillo de enteros de su campo de funciones?

¿Y qué ocurre con los campos de funciones de variedades más generales? En el caso de las variedades proyectivas, cuyo anillo global de funciones no tiene mucho que decir, podríamos esperar una respuesta más interesante.

Edición: Se me ocurre que, tal como está, la respuesta (aburrida) a mi pregunta es que el anillo de enteros está siempre dentro del campo de tierra. Permítanme en cambio hacer la siguiente pregunta, relacionada: para campos afines o de funciones generales $k(X)$ ¿es siempre cierto que existe un subring mínimo (pero no necesariamente único) $R$ tal que

$R$ es integralmente cerrado en $k(X)$ y

$k(X)$ es algebraico sobre el campo de las fracciones $Q(R)$ ?

Si es así, ¿cuál es el significado geométrico de $R$ y cuando debemos tener $Q(R) = k(X)$ ?

Answer 1

Enhorabuena, has descubierto la definición de normal variedad — precisamente la que localmente todos los anillos son parte integral de los cierres en sus campos de fracciones.

Esta definición conduce a varios inetersting propiedades geométricas, por ejemplo, el locus singular debe tener codimension al menos 2. En particular, las curvas son normales iff son nonsingular. Véase, por ejemplo, Riguroso en la Trivialidad.

Tú segunda pregunta es más difícil de entender, tal vez usted podría trabajar sobre ello un poco dado esta respuesta?

Answer 2

Supongamos que X es una curva. Entonces, wlog, suponga que X liso y proyectiva, ya que nosotros sólo nos preocupamos de su campo de función. Si R es mínimo, de modo tal que es integralmente cerrado en k(X) y k(X) es algebraica sobre el campo de fracciones de P(R), entonces R es la coordenada del anillo del complemento de un punto en X y, en particular, P(R) = k(X). Natural de la generalización a dimensiones superiores sería el complemento de la irreductible divisores en suave variedades proyectivas, pero ni siquiera estoy seguro de que este es el adecuado.