Deje $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ ser una secuencia tal que $a_1=1$$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+a_n}$$n\geq 0$.
Es posible encontrar la $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}$ ?
No tengo ninguna idea.
Gracias de antemano.
Respuesta
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La respuesta a tu pregunta es positiva. El límite existe y es igual a $\frac{1}{2}$.
Nota de que la secuencia de $(a_n)_{n \geq 1}$ es el aumento de $(a_{n+1}>a_n)$ y que se bifurca a $+\infty$. En efecto, desde el $f(x) = \sqrt{x^2+x}$ es continua en a $\mathbb{R}_+$ si $(a_n)_{n \geq 1}$ fueron a converger en algún número real $L$, $L$ tendría que ser un punto fijo de $f$. Pero el único punto fijo de $f$$0$, y el aumento de la $(a_n)_{n \geq 1}$ $a_1=1$ no convergen a $0$. Por lo tanto, $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = +\infty$.
Set $a_0=0$ y escribir $\frac{a_n}{n} = \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) = \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}b_k$ donde denotamos por a $(b_n)_{n \geq 0}$ la secuencia de las diferencias habiendo $\frac{a_n}{n}$ como su Cesàro decir.
Ahora, $b_n = a_{n+1} - a_n = \sqrt{a^2_n+a_n} - a_n = \frac{a_n}{\sqrt{a^2_n+a_n} + a_n} = \frac{1}{1+\sqrt{1+1/a_n}}$ converge a $1/2$ $n \to \infty$ desde $\lim\limits_{n \to \infty}a_n = +\infty$, por lo que, por el Cesàro significa teorema, $\frac{a_n}{n}$ también converge al mismo límite.
