Cómo puedo demostrar que la ecuación de $x^4 - y^4 = 2 z^2$ no tiene soluciones con el hecho de que las ecuaciones $x^4 + y^4 = z^2$ $x^4 - y^4 = z^2$ no tienen soluciones. No puedo pensar en un método de reducción de la ecuación de arriba de una de estas formas.
Respuesta
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Creo que significaba la inexistencia de soluciones positivas. Supongamos que existen algunas soluciones positivas(lo que significa que todo $x$, $y$, $z$ son positivos). Entonces no es una solución positiva de $(x_0,y_0,z_0)$ $x_0$ más pequeño.
En primer lugar, observe que la paridad de la $x_0$ $y_0$ no puede ser diferente. Así, ambos inclusive, o ambos impares. Ambos incluso en caso de que no es posible, porque de lo contrario $(x_0/2,y_0/2,z_0/4)$ es una solución positiva de la solución con menor $x_0$.
De igual manera, con impar prime $p$, supongamos $p|gcd(x_0,y_0)$, entonces usted también consigue más pequeños de la solución de $(x_0/p, y_0/p, z_0/p^2)$. Por lo tanto podemos suponer $(x_0,y_0)=1$.
Por lo tanto, podemos suponer ahora que $x_0$ $y_0$ son ambos impares, y coprime. A continuación, observando la expresión $$ \frac{x_0^2-y_0^2}{2}\cdot \frac{x_0^2+y_0^2}{2}=\frac{z_0^2}{2} $$
La derecha debe ser un número entero, por lo que debe ser $2Z^2$ , y cualquier prime $p$ no se puede dividir tanto $\frac{x_0^2-y_0^2}{2}$ $\frac{x_0^2+y_0^2}{2}$(de lo contrario tendríamos algún prime $p$ dividir ambos $x_0$$y_0$. Entonces tenemos $$ x_0^2-y_0^2 = u^2$$ y $$x_0^2+y_0^2 = 2v^2$$ para algunos enteros positivos $u,v$.
Ahora vamos a resolver para el Pythagorian triple en la primera ecuación. $$ x_0=s^2+t^2\\ y_0=s^2-c^2\\ u=2st $$ para algunos enteros positivos $s,t$.
A continuación,$x_0^2+y_0^2=2(s^4+t^4)=2v^2$. Por lo tanto obtenemos $s^4+t^4=v^2$. Sin embargo, esto no puede tener un número entero positivo de la solución.
