Un problema en el secuencialmente compacto y countably compacto

Question

Recientemente me encontré con un problema como sigue

"Sé que secuencialmente compacto implica countably compacto. Pero ¿alguien puede decirme por favor que lo contrario es verdadero o falso."

Answer 1

El espacio topológico $\omega_1 \times [0,1]^{[0,1]}$ es countably compacto pero ni secuencialmente compacto ni compacto. De hecho, $\omega_1$ es countably compacto, noncompact y $[0,1]^{[0,1]}$ es compacto (así countably compacto), nonsequentially compacto.

Answer 2

El recíproco es falso. De hecho, incluso la compacidad no implica la compacidad secuencial: ver Ejemplo $3$ en este PDF. (El espacio en cuestión es el producto de $2^\omega=\mathfrak c$ copias de los discretos $2$-punto del espacio.)

Answer 3

Incluso la compacidad no implica la compacidad secuencial. Considere la posibilidad de la Piedra–Čech compactification de $\mathbb N$, $\beta \mathbb N$. Este espacio es (por definición) es compacto, pero no tiene no trivial (es decir, finalmente no constante) secuencias convergentes, por lo que cualquier uno-a-uno de la secuencia no tiene convergente larga.