Encontrar todos los homomorphisms entre los dos grupos - par de preguntas

Question

Considere la posibilidad de $\mathbb{Z}_{15}$, e $\mathbb{Z}_{18}$.
Digamos que yo quiero encontrar todos los homomorphisms $f:\mathbb{Z}_{15}\rightarrow \mathbb{Z}_{18}$.

Yo no estoy interesado en la respuesta, en particular, sobre todo me preocupa la comprensión de las propiedades de homomorphism, para que yo pueda contestar este tipo de preguntas a mí mismo.

Así, en primer lugar, sé que homomorphism de cíclico grupo está totalmente determinado por su generador.
Pero, cualquier asignación hacer?

Por ejemplo, la forma más fácil de encontrar es $f(1)=0$ donde $Imf=\left\{0\right\}$, e $Ker=G$ (me corrigen si estoy equivocado, este tipo de $f$ puede ser definida entre cualquier dos grupos).
Ahora, ¿qué cosas debo tener en cuenta, cuando se trata de encontrar otra (si es que existen)?
Puedo decidir que $f(1)=1$? (No es la a, pero eso no me molesta)
¿Y qué acerca de $f(1)=2$? y así sucesivamente...

Mi segunda pregunta es: ¿qué acerca de la no-cíclico de los grupos?
Considere la posibilidad de $D_{10}$$\mathbb{Z}_{18}$, por ejemplo.
Necesito ir y definir $f$ para cada uno y cada una de las $g\in D_{10}$? (no tiene un generador)

Un enlace a un útil (y simple) resumen sobre homomorphisms propiedades también será grande.
Gracias de antemano.

Answer 1

Para estos grupos es mejor pensar entonces en términos de generadores y relaciones. El grupo $\mathbb Z_n$ ha generador de $1$ y está sujeto a una relación: $n\cdot 1 = 0$.

Para trazar el mapa de un grupo que se presenta como generadores y relaciones sólo necesita elegir las imágenes para los generadores que satisfacen las mismas relaciones. Así, cada homomorphism $\mathbb Z_{15} \to \mathbb Z_{18}$ se define mediante el envío de $1 \in \mathbb Z_{15}$ $m \in \mathbb Z_{18}$ que satisface $15\cdot m = 0$$\mathbb Z_{18}$.

Si $15m = 0$ modulo $18$ $3m = 0$ modulo $18$ $m = 0$ modulo $6$. Por lo tanto usted puede enviar $1$ a $0$, $6$, o $12$. Esto significa que hay exactamente tres homomorphisms $\mathbb Z_{15} \to \mathbb Z_{18}$.

Para los no-cíclico finito de grupos generadores y relaciones de enfoque todavía funciona. Por ejemplo, $D_n$ tiene dos generadores, $\rho$$\tau$, y tres relaciones: $$\rho^n = 1 \qquad \tau^2 = 1 \qquad \rho\tau = \tau\rho^{-1}$$ Así homomorphisms de $D_n$ son especificados por la elección de dos elementos (las imágenes de $\rho$$\tau$) que satisfacen estas relaciones.

Evidentemente, a medida que los grupos se hacen más grandes averiguar cómo se presentan como generadores y relaciones es mucho más difícil de lo que hace a averiguar qué conjuntos de elementos en el grupo objetivo de satisfacer esas relaciones. Pero aún así creo que es la mejor "general".