Por qué $-i\hbar\vec\nabla$ para el momento en la mecánica cuántica, mientras que $m\vec{v}$ en la mecánica clásica?

Question

Estoy un poco confundido al pensar en la representación del momento en QM y CM.

En QM, el momento se representa como $-i\hbar\vec\nabla$ , mientras que en la clásica, el momento se representa como $m\vec{v}$ .

Al menos, ¿dónde está la masa $m$ en CM ido cuando se encuentra con QM por favor?

Una vez vi una frase como "Lo que realmente une la teoría cuántica es la materia y la información" del archivo PPT del profesor Xiao-Gang Wen. Aunque por el momento no entiendo en absoluto esta frase.

Answer 1

$-i ħ \nabla$ es el impulso operador . Hay que aplicarlo a una función de onda para obtener el momento real.

Consideremos la solución de onda plana de la ecuación de Schrödinger: $\Psi = e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t}$ . Aplicando el operador de momento se obtiene $-i ħ \mathbf{k} \Psi$ . Puedes ver que el valor propio tiene unidades de momento. (Si no lo ves, observa que $\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}$ en el exponente es adimensional, por lo que claramente $\mathbf{k}$ tiene unidades de longitud inversa. $ħ$ tiene unidades de momento angular, por lo que $ħ \mathbf{k}$ tiene unidades de impulso).

En cuanto a la masa de la partícula, está en la ecuación de Schrödinger (y, por tanto, está relacionada con la función de onda): $i ħ \frac{\partial}{\partial t} \Psi \left(\mathbf{r}, t \right) =\left[-\frac{ħ^2}{2m}\nabla^2 + V \left(\mathbf{r}, t \right)\right]\Psi \left(\mathbf{r}, t \right)$

En particular, la relación clásica entre el momento y la energía cinética es $E = \frac{p^2}{2m}$ . (Eso es lo mismo que su $mv$ , para $E = \frac{1}{2}mv^2$ .) Nota para la partícula libre en la mecánica cuántica, es lo mismo. $E \Psi = - \frac{ħ^2}{2m}\nabla^2 \Psi = \frac{\left(-iħ\nabla\right)^2}{2m} \Psi = \frac{p^2}{2m} \Psi $

Answer 2

I) Por un lado $-i\hbar{\bf\nabla}$ es la representación de Schrödinger (posición) del operador de momento canónico/conjugado $\hat{\bf p}$ para satisfacer la RCC

$$\tag{1} [x^i, p_j]~=~\hbar {\bf 1}~\delta^i_j. $$

II) Por otro lado, $m\hat{\bf v}$ es el operador de momento cinético/mecánico. (Imaginemos, para simplificar, un entorno no relativista).

III) Estos dos conceptos de impulso son no la misma, por ejemplo en presencia de un campo electromagnético, véase por ejemplo este Respuesta de Phys.SE.

IV) Supongamos ahora que nos encontramos en una situación en la que el operador de momento canónico/conjugado $\hat{\bf p}$ y el operador de momento cinético/mecánico $m\hat{\bf v}$ coinciden. Entonces podemos representar el operador de velocidad como

$$\tag{2} \hat{\bf v}~=~\frac{\hbar}{im}{\bf\nabla}$$

en la representación de Schrödinger (posición).