¿Actúan las Matrices Gamma de Dirac como Tensores?

Question

¿Actúan las Matrices Gamma de Dirac como Tensores? ¿Es cierto que

$$ \gamma_\mu = \eta_{\mu\nu}\gamma^\nu~? $$

¿Y qué pasa con $\sigma_{\mu\nu}$ donde $\sigma_{\mu\nu}$ se define como: \begin{align*} \sigma_{\mu\nu} = \frac{i}{2}[\gamma_\mu,\gamma_\nu]~? \end{align*}

Answer 1

Sí. Los índices de las matrices gamma pueden tratarse como índices de cuatro vectores.

En particular, los índices de las matrices gamma se suelen elevar y reducir con la métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$ como usted indica; \begin{align} \gamma_\mu = \eta_{\mu\nu}\gamma^\nu. \end{align} Ahora, como escribe el usuario26143 en su comentario anterior, las matrices gamma tienen la siguiente propiedad interesante: \begin{align} \Lambda_{\frac{1}{2}}^{-1}\gamma^\mu\Lambda_{\frac{1}2} = \Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu}\gamma^\nu \end{align} donde $\Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu}$ son las componentes de una transformación de Lorentz en la representación definitoria (cuatro vectores) del grupo de Lorentz, y $\Lambda_\frac{1}{2}$ es la representación matricial de esta transformación de Lorentz en la representación del espinor de Dirac. Esta ecuación simplemente dice que cuando uno transforma los índices del espinor de Dirac de las matrices gamma (estos índices se suprimen en el lado izquierdo de la ecuación anterior) entonces esto es equivalente a una transformación de su índice vectorial. Este hecho no invalida de alguna manera el tratamiento de los índices griegos que etiquetan las matrices gamma como índices Lorentz de cuatro vectores.

De ello se deduce que los índices sobre objetos compuestos formados por las matrices gamma también deben considerarse índices vectoriales de Lorentz. Esto es, en particular, cierto para el objeto $\sigma^{\mu\nu}$ que definimos anteriormente cuyos índices, por tanto, también pueden reducirse utilizando la métrica de Minkowski.

Answer 2

Las expresiones $\eta_{\mu\nu}$ son algunos números. La segunda relación que has puesto ya implica que la gente multiplica y suma diferentes matrices gamma, y mutliply matrices gamma por números complejos, y para cualquier fijo $\mu$ la expresión la segunda expresión es simplemente $\eta_{\mu 0}\gamma^0+\eta_{\mu 1}\gamma^1+\eta_{\mu 2}\gamma^2+\eta_{\mu 3}\gamma^3$ . Así que su pregunta no es realmente sobre el "comportamiento" de las matrices Gamma, es simplemente acerca de si la comunidad académica necesita una introducción a su notación.