Secuencia exacta que al operador nabla

Question

Recientemente noté %#% $ #%

es una secuencia exacta de $$0 \longrightarrow \Bbb R \overset{\text{const.}}\longrightarrow \mathcal{C}^\infty(\Bbb R^3,\Bbb R) \overset{\text{grad}}\longrightarrow \mathcal{C}^\infty(\Bbb R^3,\Bbb R^3) \overset{\text{rot}}\longrightarrow \mathcal{C}^\infty(\Bbb R^3,\Bbb R^3) \overset{\text{div}}\longrightarrow \mathcal{C}^\infty(\Bbb R^3,\Bbb R)\longrightarrow 0$-álgebras, donde la segunda flecha es dado por $\Bbb R$ y grad, putrefacción, div son los operadores de gradiente, la rotación y la divergencia.

Es la existencia de una secuencia tan exacta una simple curiosidad o tiene su origen de resultados profundos en álgebra homológica.

Si es así, ¿hay generelizations $\text{const}:c \mapsto f(\vec x)\equiv c$ con mayor $\Bbb R^n$ o incluso otros colectores de lisas?

Answer 1

Este es un caso especial de la deRham complejo en $\Bbb R^3$.

Deje $M$ ser un suave colector. Entonces tenemos la cotangente del paquete de $T^\ast M$ $M$ dejando el espacio cotangente $T_x^\ast M$ $x \in M$ ser el doble de espacio vectorial para el espacio de la tangente $T_x M$. Recordemos que dado un espacio vectorial $V$, podemos formar el exterior álgebra $\Lambda^\ast V$, y dejamos $\Lambda^p V$ denotar el grado $p$ parte de a $\Lambda^\ast V$ (por lo que si $\{e_1, \dots, e_n\}$ es una base para $V$, $\Lambda^p V$ es generado por los productos de la forma $e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_p}$). Ahora podemos formar el paquete de $\Lambda^\ast T^\ast M$ tomando el exterior álgebra $\Lambda^\ast T^\ast_x M$ de cada espacio cotangente, y de igual manera nos reciben paquetes $\Lambda^p T^\ast M$. Finalmente, definimos el espacio de diferencial $p$-formas en $M$ por $$\Omega^p(M) = C^\infty(\Lambda^p T^\ast M),$$ es decir, el espacio de secciones suaves de $\Lambda^p T^\ast M$. Lo que esto significa es lo siguiente. Podemos considerar $\Lambda^p T^\ast M$ $$\Lambda^p T^\ast M = \coprod_{p \in M} \Lambda^p T_x^\ast M,$$ topologized adecuadamente. Por lo tanto, tenemos una natural mapa de proyección $\pi: \Lambda^p T^\ast M \longrightarrow M$ el cual es dado por $\pi(x, v) = x$. Entonces $$\Omega^p(M) = \{\alpha: M \longrightarrow \Lambda^p T^\ast M \mid \pi \circ \alpha = \mathrm{Id}_M\}.$$

Tenga en cuenta que $\Omega^0(M)$ es sólo el espacio de lisa real de las funciones con valores en $M$. Podemos definir el exterior derivado $df$ $f \in \Omega^0(M)$ definiendo $df$ a ser el diferencial de $f$, es decir, $$df(X) = Xf$$ para cualquier campo vectorial $X$$M$. Si aplicamos la regla de Leibniz $$d(\alpha \wedge \beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^{\deg(\alpha)} \alpha \wedge d\beta,$$ a continuación, el exterior de derivados se extiende únicamente a un mapa $$d: \Omega^\ast(M) \longrightarrow \Omega^{\ast + 1}(M).$$ Ahora uno puede mostrar que $d^2 = 0$, por lo que $$0 \to \Omega^0(M) \xrightarrow{~d~} \Omega^1(M) \xrightarrow{~d~} \Omega^2(M) \xrightarrow{~d~} \cdots$$ es un cochain complejo. El cohomology $$H^\ast_{dR}(M) = H^\ast(\Omega^\ast(M), d)$$ de este complejo se llama la deRham cohomology de $M$. DeRham del teorema de los estados que deRham cohomology es isomorfo a singular cohomology: $$H^\ast_{dR}(M) \cong H^\ast_{\text{sing}}(M; \Bbb R).$$

Ahora vamos a ver por qué su ejemplo es un caso especial de la deRham complejo. Al $M = \Bbb R^3$, tenemos $$\Omega^0(\Bbb R^3) \cong \Omega^3(\Bbb R^3) \cong C^\infty(\Bbb R^3, \Bbb R), \quad \Omega^1(\Bbb R^3) \cong \Omega^2(\Bbb R^3) \cong C^\infty(\Bbb R^3, \Bbb R^3).$$ Todos los demás espacios de $p$formularios en $\Bbb R^3$ son triviales. Ahora para $f \in \Omega^0(\Bbb R^3)$, $$df = \sum_{i = 1}^3 \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i ~\leftrightarrow~ \operatorname{grad}(f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3} \right).$$ Para $$\alpha = \sum_{i = 1}^3 \alpha_{i}(x_1, x_2, x_3) ~dx_i \in \Omega^1(\Bbb R^3) ~\leftrightarrow~ v = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \in C^\infty(\Bbb R^3, \Bbb R^3),$$ tenemos $$d\alpha = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \frac{\partial \alpha_i}{\partial x_j} ~dx_i \wedge dx_j = \left(\frac{\partial \alpha_3}{\partial x_2} - \frac{\partial \alpha_2}{\partial x_3}\right) ~dx_2 \wedge dx_3 - \left(\frac{\partial \alpha_3}{\partial x_1} - \frac{\partial \alpha_1}{\partial x_3}\right) ~dx_1 \wedge dx_3 + \left(\frac{\partial \alpha_2}{\partial x_1} - \frac{\partial \alpha_1}{\partial x_2}\right) ~dx_1 \wedge dx_2 ~\leftrightarrow~ \operatorname{rot}(v).$$ Finalmente, para $$\beta = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \beta_{ij}(x_1, x_2, x_3) ~dx_i \wedge dx_j \in \Omega^2(\Bbb R^3) ~\leftrightarrow~ w = (\beta_{23}, -\beta_{13}, \beta_{12}) \in C^\infty(\Bbb R^3, \Bbb R^3),$$ tenemos $$d\beta = \sum_{i,j,k = 1}^3 \frac{\partial \beta_{ij}}{\partial x_k} ~dx_i \wedge dx_j \wedge dx_k = \frac{\partial \beta_{23}}{\partial x_1}~dx_2 \wedge dx_3 \wedge dx_1 + \frac{\partial \beta_{13}}{\partial x_2}~dx_1 \wedge dx_3 \wedge dx_2 + \frac{\partial \beta_{12}}{\partial x_3}~dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 ~\leftrightarrow~ \operatorname{div}(w) = \frac{\partial \beta_{23}}{\partial x_1} - \frac{\partial \beta_{13}}{\partial x_2} + \frac{\partial \beta_{12}}{\partial x_3}.$$ Por lo tanto vemos la correspondencia entre el exterior de los derivados y el vector de derivados. Ahora deRham del teorema nos dice que la cohomology de $$0 \longrightarrow C^\infty(\Bbb R^3,\Bbb R) \overset{\text{grad}}\longrightarrow C^\infty(\Bbb R^3,\Bbb R^3) \overset{\text{rot}}\longrightarrow C^\infty(\Bbb R^3,\Bbb R^3) \overset{\text{div}}\longrightarrow C^\infty(\Bbb R^3,\Bbb R)\longrightarrow 0$$ es trivial, excepto en el grado cero. Por tanto, debemos aumentar la cochain complejo como el que hizo para obtener una secuencia exacta: $$0 \longrightarrow \Bbb R \overset{\text{const.}}\longrightarrow C^\infty(\Bbb R^3,\Bbb R) \overset{\text{grad}}\longrightarrow C^\infty(\Bbb R^3,\Bbb R^3) \overset{\text{rot}}\longrightarrow C^\infty(\Bbb R^3,\Bbb R^3) \overset{\text{div}}\longrightarrow C^\infty(\Bbb R^3,\Bbb R)\longrightarrow 0.$$

Answer 2

Dependiendo de su definición de curiosidad, no es una coincidencia. De hecho generalizar en dimensiones superiores, incluso en los colectores. Para más información te aconsejo buscar alguna teoría de cohomología de Rham.

Answer 3

Sí, usted puede reemplazar a los derivados de aquí con el exterior derivados. Esa es la generalización de la divergencia, de la pendiente, y la curvatura.

Cada espacio vectorial $\mathbb R^n$ admite un álgebra geométrica en la que llamó a $\mathbb G^n$. Este es un álgebra de clifford, y los objetos son llamados multivectors.

Estos multivectors pueden ser separados por "calificaciones". Cada grado de su propia subespacio. Ellos son como sigue. En $\mathbb G^n$ no es/son...

• 1 linealmente independiente escalar
• $n$ vectores linealmente independientes
• $n(n-1)/2 = \binom{n}{2}$ linealmente independientes bivectors
• $\binom{n}{3}$ linealmente independientes trivectors
• ...
• $n$ linealmente independientes $(n-1)$-vectores, también llamado pseudovectors
• 1 linealmente independientes $n$-vector, también llamado pseudoscalar

Hay $2^n$ linealmente independientes elementos. Usted puede ver cómo esta progresión va de acuerdo con el triángulo de Pascal, y que en 3d, va 1-3-3-1.

Normalmente, podemos interpretar la $k$-vectores (para cualquier entero $k$ tal que $0 \leq k \leq n$) geométricamente. Un vector es una orientada a la línea con un peso (magnitud). Un bivector es una orientada al avión con una magnitud. Trivectors están orientados volúmenes, y así sucesivamente.

Como cálculo vectorial nos permite hablar de vectores y campos escalares, podemos hablar de bivector y trivector campos, arbitraria $k$-campos vectoriales, o incluso el general multivector campos con elementos de varios grados!

El vector derivado $\nabla$ puede ser llevado a actuar en tales campos. Decimos que $\nabla \wedge A$ es un operador diferencial que actúa un $k$-campo de vectores $A$ y devuelve un $(k+1)$-campo de vectores. Así que desde el espacio de campos escalares, podemos construir un espacio de campos vectoriales. De campos vectoriales, podemos construir bivector campos, y así sucesivamente.

Pero espere, aún hay más! Cuando usted tiene una métrica, usted también puede hacerlo en la dirección opuesta! Hay un "interior" derivado $\nabla \cdot A$ que actúa sobre una $k$-campo de vectores $A$ y devuelve un $(k-1)$-campo de vectores. Esto también se llama la coderivative y por algunos otros nombres. La existencia de este operador es la razón por la que considero que es un error implícitamente identificar gradiente, divergencia y curl únicamente con el exterior derivados. El "gradiente" de un pseudoscalar campo no es un exterior derivada en todos, de modo que tal afirmación de que estos tres operadores son sólo el exterior derivado en diversas formas es muy incompleta.

Lo que esto significa, entonces, es que hay una métrica involucrados, puede hacer que la cadena de ejecución de la otra manera alrededor. Realizar una constante pseudoscalar campo (como se hizo una constante escalar del campo) y correr hacia atrás.

Al tratar con el general colectores, vamos a considerar, integrado en el primer caso. Cualquier incrustado colector tiene un pseudoscalar, que en una incrustación va a variar con la posición en el colector. El comportamiento de la pseudoscalar (cómo cambia con la posición) que caracteriza a la mayoría de los múltiples propiedades! Pero, naturalmente, un $k$-campo de vectores en el colector no puede exceder la dimensión de la pseudoscalar. Si su pseudoscalar es un bivector--un avión, entonces obviamente trivector campos (que corresponden a volúmenes) no puede vivir en ese espacio de la tangente.