Cómo encontrar el polinomio tal que...

Question

Deje $P(x)$ ser el polinomio de grado 4 y $\sin\dfrac{\pi}{24}$, $\sin\dfrac{7\pi}{24}$, $\sin\dfrac{13\pi}{24}$, $\sin\dfrac{19\pi}{24}$ son las raíces de $P(x)$ . Cómo encontrar a $P(x)$? Muchas gracias.

---

Gracias a cada uno de ellos. Pero tenga en cuenta este problema.

Encontrar el polinomio con grado 3 tal que $\cos\dfrac{\pi}{12}$, $\cos\dfrac{9\pi}{12}$, $\cos\dfrac{17\pi}{12}$ son raíces

Tenga en cuenta que $\dfrac{\pi}{12}$, $\dfrac{9\pi}{12}$, $\dfrac{17\pi}{12}$ son solución de la ecuación de $\cos3\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ y $\cos\dfrac{\pi}{12}$, $\cos\dfrac{9\pi}{12}$, $\cos\dfrac{17\pi}{12}$ son número distinto.

Tenemos $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$. Deje $x=\cos\theta$, por lo tanto $\cos\dfrac{\pi}{12}$, $\cos\dfrac{9\pi}{12}$, $\cos\dfrac{17\pi}{12}$ son las raíces de $4x^3-3x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$

Quiero método similar a este para encontrar $P(x)$.

Gracias.

Answer 1

No puede ser la respuesta que quería, dado que es de grado 8. Pero tiene coeficientes enteros, por lo que puede ser de su interés.

Si $R_n(x)=T_n(\sqrt{1-x^2})$ donde $T_n$ es el polinomio de Chebyshev de grado $n$, luego $$ T_n(\sen t)=\cos nt $$ para todos los $t$. Debido a $\cos \alpha=0$, iff $\alpha$ es una extraña múltiples de $\pi/2$, el 12 ceros de $$ R_{12}(x)=1 - 72 x^2 + 840 x^4 - 3584 x^6 + 6912 x^8 - 6144 x^{10} + 2048 x^{12} $$ son los números de $\sin((2j+1)\pi/24), j=0,1,2,\ldots,23$. Cada cero se produce aquí dos veces, porque $\sin x=\sin (\pi-x)$. Podemos tirar los ceros que corresponden a $3\mid 2j+1$, para aquellos que también son los ceros de $$ R_4(x)=1-8x^2+8x^4. $$ Esto nos deja con $$ P(x)=\frac{R_{12}(x)}{R_4(x)}=1-64x^2+320x^4-512x^6+256x^8. $$

Además de los prescritos ceros $P$ se desvanece en los aspectos negativos de los senos. Observar que $\sin(5\pi/24)=\sin(19\pi/24)$ et cetera.

Answer 2

Por un tedioso expansión de $P(x)=(x-r_1)(x-r_2)\ldots$ que otras respuestas han cubierto o mediante el uso de las fórmulas de Vieta, usted puede encontrar que

$$P(x)=x^4+\left[-\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)-\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)-\sin\left(\frac{11\pi}{24}\right)-\sin\left(\frac{13\pi}{24}\right)\right]x^3$$

$$\ldots+\left[\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{13\pi}{24}\right)+\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{13\pi}{24}\right)\right.$$

$$\left.\ldots+\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{19\pi}{24}\right)+\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{19\pi}{24}\right)+\sin\left(\frac{13\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{19\pi}{24}\right)\right]x^2$$

$$\ldots+\left[-\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{13\pi}{24}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{19\pi}{24}\right)\right.$$

$$\left.\ldots-\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{13\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{19\pi}{24}\right)-\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{13\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{19\pi}{24}\right)\right]x$$

$$\ldots+\left[\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{13\pi}{24}\right)\sin\left(\frac{19\pi}{24}\right)\right]$$

El uso de Wolfram Alpha, podemos encontrar que $\sin\left(\frac{\pi}{24}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$, $\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{3}}}$, $\sin\left(\frac{13\pi}{24}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ & $\sin\left(\frac{19\pi}{24}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$. Entonces, usted puede sustituir en (yo estaría interesado en ver lo que se simplifica). Por favor, tenga en cuenta que con una expresión de tanto tiempo, estoy obligado a haber cometido un error en alguna parte. Gracias por la interesante pregunta.

Edit: el Uso de $\sin(\ldots)$ en términos de $e^{(i\ldots)}$, he conseguido expresar el coeficiente de $x^3$ $\frac{1}{2}(i-1)\left(e^{i\pi/24}+e^{5i\pi/24}\right)-\frac{1}{2}(i+1)\left(e^{-i\pi/24}+e^{-5i\pi/24}\right)$ a pesar de que no se puede pensar a dónde ir desde allí.

Answer 3

Puedes probar a continuación:

Decir $r_1, r_2, r_3, r_4$ son raíces del polinomio,

$P(x) = \large x^4-\left(\sum r_1\right)x^3 + \left(\sum r_1r_2\right)x^2 - \left(\sum r_1r_2r_3\right)x + r_1r_2r_3r_4 $

Tenga en cuenta que las raíces definen el polinomio único hasta un factor constante.

Answer 4

Sugerencia: Si $r$ es una raíz de un polinomio entonces $(x-r)$ es un factor. Tiene cuatro raíces.

Answer 5

Observe que $\displaystyle\frac{13\pi}{24}-\frac\pi2=\pi\dfrac{(13-12)}{24}=\frac\pi{24}$ y $\displaystyle\frac{19\pi}{24}-\frac\pi2=\pi\dfrac{(19-12)}{24}=\frac{7\pi}{24}$

Así, $\displaystyle\sin\frac{13\pi}{24}=\sin\left(\frac\pi2+\frac\pi{24}\right)=\cos\frac\pi{24}$ y $\displaystyle\sin\frac{19\pi}{24}=\sin\left(\frac\pi2+\frac{7\pi}{24}\right)=\cos\frac{7\pi}{24}$

Así que, tenemos la ecuación de grado cuatro, cuyas raíces son $\displaystyle\sin\frac{7\pi}{24},\cos\frac{7\pi}{24};\sin\frac{\pi}{24},\cos\frac{\pi}{24}$

Ahora la ecuación cuyas raíces son $\displaystyle\sin\frac{\pi}{24},\cos\frac{\pi}{24}$ es %#% $ #%

Ahora $$t^2-\left(\sin\frac{\pi}{24}+\cos\frac{\pi}{24}\right)t+\sin\frac{\pi}{24}\cos\frac{\pi}{24}=0$ y $\displaystyle\sin\frac{\pi}{24}\cos\frac{\pi}{24}=\frac{\sin\dfrac\pi{12}}2$

Otra vez, $\displaystyle\dfrac\pi{12}=\frac\pi4-\frac\pi6$

Se debe aplicar el mismo método para encontrar la ecuación cuyas raíces son $\displaystyle\sin\frac{\pi}{24}+\cos\frac{\pi}{24}=+\sqrt{1+\sin\dfrac\pi{12}}$