¿Qué es

Question

El límite es: $$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\arctan(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}$ $

No es necesario darle una solución entera, quiero la ruta para ver cómo solucionarlo.

He probado tanto con la definición de límites y caracterización de secuencias pero no sé muchas cosas que hacer con $\arctan(xy)$. Sólo sé su limitada $-{\pi \over 2} < \arctan(xy) < {\pi \over 2}$, es impar y estrictamente creciente.

Answer 1

Observar que tienen \left|\arctan u\right $$ | \leq | u |, \quad | u | \leq1, $ $$ then, switching to polar coordinates with $r=\sqrt{x^2+y^2}$, as $r\to 0, se obtiene

$$ \left|\frac{\arctan(xy)} {\sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} \right|=\frac {\left|\arctan (r ^ 2 \sin \theta \cos \theta)\right|} \leq \frac{\left|r^2 \sin \theta \cos \theta\right| {r}} {r} \leq r. $$

El límite buscado es igual a $0$.

Answer 2

$-\frac{x^2+y^2}{2}\leq xy\leq \frac{x^2+y^2}{2}$ $\arctan$ es una función creciente monotónica, así $$\frac{\arctan\frac{-r^2}{2}}{r}\leq \frac{\arctan{(xy)}}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq \frac{\arctan\frac{r^2}{2}}{r}$$ where $r=\sqrt{x^2+y^2} $. Ahora, usando la regla de L'Hospital conseguir que ambos límites en el sándwich son $0$.

O, puede utilizar la desigualdad Oliver Oloa dio a obtener: $$-\frac{r^2}{2r}\leq\frac{\arctan\frac{-r^2}{2}}{r}\leq \frac{\arctan{(xy)}}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq \frac{\arctan\frac{r^2}{2}}{r}\leq\frac{r^2}{2r}$ $

Answer 3

Utilizar coordenadas polares y regla de L'Hospital:

$$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\arctan(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim\limits_{r \to 0} \frac{\arctan(r^2 \cos(\theta) \sin(\theta))}{\sqrt{(r \cos(\theta))^2+(r \sin(\theta))^2}} = \lim\limits_{r \to 0} \frac{\arctan(r^2 \cos(\theta) \sin(\theta))}{r} = \lim\limits_{r \to 0} \frac{2r \cos(\theta) \sin(\theta))}{r^2 \sin^2(\theta)\cos^2(\theta) + 1} = 0$$

Answer 4

El valor absoluto de la expresión es

$$\left |\frac{\arctan (xy)}{\sqrt {x^2+y^2}}\right| = \left |\frac{\arctan (xy)}{xy}\right|\cdot |y|\cdot \left |\frac{x}{\sqrt {x^2+y^2}}\right |\le \left |\frac{\arctan (xy)}{xy}\right|\cdot |y|\cdot 1.$$

Porque $\lim_{u\to 0}(\arctan u)/u =1$ $|y|\to 0,$ el límite deseado es $0.$

Answer 5

Recordando de la geometría elemental que la función seno satisface las desigualdades

$$x\cos(x)\le \sin(x)\le x$$

$0\le x\le \pi/2$, entonces podemos afirmar

$$|\arctan(x)|\le |x|$$

% de todos $x$. Por lo tanto, tenemos

$$\left|\frac{\arctan(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\le \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le \sqrt{|xy|/2}$$

de que el codiciado límite se ve que es $0$.