Espacios con producto interno sobre campos finitos

Question

Producto interior espacios son definidos sobre un campo de $\mathbb{F}$ es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$.

Quiero saber qué pasa si tratamos de definir a través de algunas campo finito. He aquí un ejemplo:

Deje $\mathbb{F} = \{0,1,a,b\}$ ser un campo finito con + y * definido por las siguientes tablas de Cayley:

Ahora, definir una muy simple espacio vectorial $\mathcal{V} = \{O, V\}$ $\mathbb{F}$ como sigue:

1. $\mathcal{V}$ es un grupo Abelian sobre la suma, con identidad $O$. Por lo tanto, $O+O = V+V = O$, e $O+V = V+O =V$.
2. La multiplicación escalar se rige con las siguientes reglas: Para cualquier $e \in \mathbb{F}$,$eO = O$. Definir $0V = O$, e $1V=aV=bV=V$.

Uno puede fácilmente comprobar que $\mathcal{V}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}$.

Ahora, se define un producto interior de $\mathcal{V}$:

1. $\langle O,O \rangle = 0$ $\langle V,V \rangle = 1$;
2. $\langle V,O \rangle = \langle O,V \rangle = 0$.

Parece que el ejemplo de arriba muestra un producto interior el espacio sobre un campo finito.

Está por encima de la noción que se ha estudiado? ¿Tiene alguna aplicación?

Hemos evitado "conjugado simetría" en la definición anterior, suponiendo que el conjugado de cada uno de los miembros de $\mathbb{F}$ es en sí mismo. Podemos definir la conjugación de otros campos que no $\mathbb{C}$? (Bueno, he oído el nombre C*-algebra, pero no sé si se refiere a mi pregunta.)

Por ejemplo, supongamos $\mathbb{Q}[\sqrt 3] = \{a+b\sqrt 3 \mid a,b \in \mathbb{Q} \}$ $\mathbb{Q}$ adosadas con $\sqrt 3$. Para cualquier $e = a+b\sqrt 3$$\mathbb{Q}[\sqrt 3]$, podemos definir el conjugado de a$e$$e^* = a-b\sqrt 3$? Este cumple la condición siguiente: Tanto la adición y la multiplicación de $e$ $e^*$ son miembros de la base de subcampo.

Answer 1

1) la acción de La $F$ $\mathcal{V}$ que ha definido no gire $\mathcal{V}$ en un espacio vectorial. Si lo hiciera, sería necesario tener $$ V=vb=(1+a)V=1V+aV=V+V=0. $$

2) solemos restringir la noción de un producto interior para espacios vectoriales sobre un campo, donde los elementos del campo (=los escalares) puede ser ordenado. Más en particular, queremos tener un conjunto de elementos positivos. Esperemos que recordar que uno de los axiomas de un centro de demanda de los productos que el producto interior de un no-cero vector con la misma debe ser positivo. Bien, ¿cuáles son los elementos positivos de un campo finito? Aquí tenemos un problema. Normalmente queremos declarar $1$ como un elemento positivo. Pero también queremos que la suma de dos positivos a ser positiva, por lo $1+1=2$ debe ser positiva. Pero en el campo de los cuatro elementos de la $1+1=0$, lo $0$ debe ser positivo?? Por un argumento similar vectores no nulos en un espacio vectorial sobre un campo finito a menudo tienen cero 'producto interior' con sí mismo. No se ve demasiado bien, ¿verdad? [Editar] Como Theo señala que la razón para esto es que el interior del producto se utiliza para definir una longitud de un vector y una métrica en el espacio), así que tenemos que ser capaces de hacer raíces cuadradas. Como sucede, en su campo de todos los elementos tienen raíces cuadradas (todos los campos finitos de la característica 2 comparten esta propiedad), pero el problema con los elementos positivos persiste.[/Edit]

3) La cosa más cercana a un producto interior en un espacio vectorial sobre un campo finito (o no ordenado de campo) es un bilineal simétrica forma. Viene junto con un asociado de la forma cuadrática. Estos se han estudiado bien los objetos en el álgebra.

4) El tipo de conjugaciones que parecen hablar también se ha estudiado bien en el álgebra. Muchos campos de número tiene varias de estas simetrías, y son llamados los automorfismos del campo. Buscar la teoría de campo (o de la teoría de Galois) para aprender más. Incluso su campo de 4 elementos tiene un no-trivial. La asignación de $F:0\mapsto, 1\mapsto 1, a\mapsto b, b\mapsto a$ tiene las siguientes propiedades atractivas:

$$ F(x+y)=F(x)+F(y)\qquad F(xy)=F(x)F(y) $$

para todos los $x,y$ en su campo.

Answer 2

(No voy a abordar su ejemplo concreto, lo siento!)

En realidad, usted necesita $K$ $*$- división de anillo con el fin de hacer sentido de una generalización de producto interior en el espacio. Siempre se puede equipar a cada división anillo con el trivial de la conjugación de operación $*$ que se asigna a cada elemento de a sí mismo. (Esto no es muy interesante, pero muestra que la necesidad de una conjugación de la operación no excluye la división de los anillos de consideración.)

Pero la noción de una $*$-división de anillo de $K$ es suficiente para definir un $K-$ espacio vectorial $H$ $K-$módulo, y también definir lo que es una degenerada de hermitian forma en $H$ debe ser.

Yo no te puedo decir si esta idea tiene todas las aplicaciones. Puedo decir, en cambio, que no tiene ningún tipo de aplicaciones en la mecánica cuántica (una de las principales área de aplicaciones de Hilbert espacios), debido a que existe una muy fuerte teorema que establece que asumir algunos axiomas básicos que son necesarios para la mecánica cuántica en infinitas dimensiones, K tiene que ser de los números reales, los números complejos o de los cuaterniones.

Para más detalles por favor visita este blog: Soler del teorema, nCafe.

Answer 3

Hay una cierta generalización de producto interior espacios, pero no es exactamente lo que usted desea: Hilbert C* módulos (esencialmente) de Hilbert espacios (es decir, completar producto interior de los espacios más arbitraria C*-álgebras. Finito campos definitivamente no son la C*-álgebras, pero usted puede tener (entre otras cosas) $\mathbb{C}^n$ (y, en particular,$\mathbb{C}$, el caso clásico), $\ell^2$, $L^2 [0,1]$, etc. La teoría está muy bien desarrollado. Usted tiene un Cauchy-Schwarz desigualdad, un inducida por la norma y la métrica, y así sucesivamente. Usted puede leer más acerca de esto en la Wiki:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_C*módulo de