¿Ejemplo del subgrupo discreto de $\mathbb{R}^2$ donde la imagen de $X$ 1 º proyección isn ' subconjunto discreto t $\mathbb{R}$?

Question

¿Qué es un ejemplo de un subgrupo discreto $X$ $(\mathbb{R}^2, +)$ donde la imagen de $X$ en el 1% de la proyección $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$no es un subconjunto discreto de $\mathbb{R}$?

Answer 1

Cómo acerca de $G=\langle(1,1), (\pi, 1)\rangle?$ $0$ debe ser la acumulación punto de la proyección.

1) $G$ es discreto:

Considere la posibilidad de $x=(a+b \pi, a+b) \in G$ arbitrario. Supongamos que $y=(a'+b' \pi, a'+b') \in G$ es otro elemento que está lo suficientemente cerca de a $x$, decir $|x-y|<\frac{1}{2}$. A continuación, necesariamente, tiene que $a+b=a'+b'$, ya que de lo contrario $|x-y|\geq 1$ ($a+b, a'+b'$ son enteros).

Ahora $x-y=((a-a')+(b-b')\pi, 0)$, por lo que tenemos $$|x-y|=|(a-a')+(b-b')\pi| < \frac{1}{2}.$$

Pero $a+b=a'+b'$ es equivalantly $(a-a')=-(b-b')$, por lo que tenemos $$x-y=(k-k\pi, 0)=(k(1-\pi), 0)$$ para algunos $k\; (=a-a')$. De ello se desprende que $|k|(\pi-1)=|x-y|<\frac{1}{2},$ lo que puede suceder sólo si $k=0$ ($k$ es un número entero). Por lo tanto, $a=a', b=b'$$x=y$.

2) $\mathrm{proj}_1(G)$ no es discreto:

Es suficiente para demostrar que $\langle 1, \pi \rangle \subseteq \mathbb{R}$ no es discreto.

Por Dirichlet del teorema de aproximación, Existen infinitos pares de $(p, q)$ de enteros tales que $$\left|\pi-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2}\;.$$ Es decir, hay infintely muchos enteros positivos $q$ (de verificación) de tal manera que para un adecuado entero $p$ (dependiendo $q$) tenemos

$$-\frac{1}{q^2}<\pi-\frac{p}{q}<\frac{1}{q^2},$$ de ahí $$-\frac{1}{q}<q\pi-p<\frac{1}{q}.$$ Esto demuestra que $0$ es un punto de acumulación de a $\langle 1, \pi \rangle$.

EDIT: se puede observar que el ejemplo es innecesariamente complicado: Tomar $\langle(1,1),(\pi, 0) \rangle$ sería sin duda simplificar paso $1$.

Answer 2

No, esto no es cierto. Por ejemplo, deje $$ D = \left\{\left (\frac {1} {n,} \frac {1} {n} \right): n \in \mathbb{N}\right\} \cup \ {(0,1) \} $$

Entonces la imagen de $D$ bajo la proyección es una secuencia convergente, por lo que no es discreta. Por otro lado, $D$ sí es discreta.