Rompecabezas de probabilidad: Dado cargado mutante

Question

Tome un dado (inicialmente) justo de seis caras (es decir $P(x)=\frac{1}{6}$ para $x=1,…,6$ ) y hazlo rodar repetidamente.

Después de cada tirada, el dado se carga para la siguiente tirada en función del número $y$ que se acaba de rodar según el siguiente sistema:

$$P(y)=\frac{1}{y}$$ $$P(x)=\frac{1 - P(y)}{5} \text{, for } x \ne y$$

es decir, la probabilidad de que vuelva a salir ese número en la siguiente tirada es $\frac{1}{y}$ y los números restantes tienen la misma probabilidad.

¿Cuál es la probabilidad de que salga un $6$ en su $n$ ¿Rollo?

NB: Esto es no una pregunta de deberes o de concurso, sólo una idea que se me ocurrió en un aburrido viaje en autobús. Puntos extra por calcular la probabilidad de sacar el número $x$ en el $n$ el rollo.

Answer 1

Halla la matriz de transición y diagonalízala. Tomar la enésima potencia debería ser fácil...

Answer 2

La matriz de transición viene dada por $$\mathcal P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{10} \\ \tfrac{2}{15} & \tfrac{2}{15} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{15} & \tfrac{2}{15} & \tfrac{2}{15} \\ \tfrac{3}{20} & \tfrac{3}{20} & \tfrac{3}{20} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{3}{20} & \tfrac{3}{20} \\ \tfrac{4}{25} & \tfrac{4}{25} & \tfrac{4}{25} & \tfrac{4}{25} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{4}{25} \\ \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} \end{bmatrix}.$$ Es bastante fácil obtener valores numéricos para la distribución de probabilidad de estar en el estado $6$ después de $n$ pasos, pero una solución de forma cerrada parece difícil.

Answer 3

A partir de la matriz dada por heropup, podemos proceder a obtener la función generadora de las entradas de la matriz de transición mediante calculando $\left(I-x\, \mathcal P\right)^{-1}$ y la función generadora requerida está en la primera columna de la última fila:

\begin{align*} P(x) &= \frac{2 \, x^{5} - 85 \, x^{4} + 1050 \, x^{3} - 4625 \, x^{2} + 6250 \, x}{2 \, x^{6} - 176 \, x^{5} + 3579 \, x^{4} - 26105 \, x^{3} + 77075 \, x^{2} - 91875 \, x + 37500} \end{align*}

En $P(x)$ podemos entonces obtener una forma cerrada por fracciones parciales (no exactamente cerrada -- una aproximación numérica, no sé si se puede expresar como radicales)

\begin{align*} p_n &= 1 -\frac{0.693982819959272}{62.5850370771749^{n + 1}} - \frac{0.092005459392035}{14.08514740967338^{n + 1}} - \frac{0.0523322928368}{6.21661835066233^{n + 1}} - \frac{0.05617730006359}{2.95554722545701^{n + 1}} - \frac{1.10550212774831}{1.15764993703234^{n + 1}} \end{align*}

y una recurrencia

\begin{align*} p_{n} &= \frac{29}{20}\, p_{n-1} - \frac{227}{375}\, p_{n-2} + \frac{227}{2500}\, p_{n-3} - \frac{29}{6250}\, p_{n-4} + \frac{1}{18750}\, p_{n-5}+\frac{216}{3125} \\\\ p_0 &= 0 \\ p_1 &= \frac{1}{6}\\ p_2 &= \frac{57}{200}\\ p_3 &=\frac{13813}{36000}\\ p_4 &=\frac{1684933}{3600000} \end{align*}