Abeliano subgrupo en un infinito no abeliano$3$ - grupo

Question

¿Existe un grupo infinito no abeliano$3$ - un subgrupo abeliano infinito?

Este resultado se mantiene para$2$ - grupos, pero me pregunto si esto tiene o no para$3$ - grupos.

Gracias por adelantado.

Answer 1

La respuesta es afirmativa si $G$ ha exponente $3$.

Recordemos que un grupo de $G$ es localmente finito si cada subconjunto finito de $G$ genera un subgrupo finito, es decir, si cada finitely generado subgrupo de $G$ es finito. Se desprende de un conocido resultado en Burnside Problema, que cada 3-grupo localmente finito.

Ahora, a partir de un resultado de P. Hall, Kulatilaka y Kargapolov (que se puede encontrar en el libro de Robinson "Un curso en la teoría de grupos", Sección 14.3), uno sabe que cada localmente finito grupo que es infinito, contiene un infinito abelian subgrupo.

Como, creo que usted no ha impuesto una condición en la que el exponente de a $G$, creo que lo que hay es $2$-los generadores de los grupos de exponente $3^n$ $n$ lo suficientemente grande, en la que cada apropiado subgrupo es cíclico, así que no contienen infinito adecuada subgrupo