Esta es una modificación de una pregunta que le hice antes.
En la pregunta que yo no había realizado ningún tipo de límites en el número de binario relaciones permitidas, así que mi pregunta tenía una respuesta afirmativa, pero trivial y poco interesante. Esta modificación efectivamente cambia la pregunta por lo que es mucho menos trivial, así que esto no es un duplicado de un post.
La teoría de conjuntos ZFC es típicamente formalizado como una ordenados teoría, sin urelements, y con una firma que contiene una primitiva binarias de relación y no de funciones primitivas.
Es posible hacer lo mismo con la categoría de la teoría o de categoría superior a la teoría, la formalización de un universo de categorías como de primer orden de la teoría con sólo un tipo de objeto, una relación binaria, y no funciona?
Para aclarar: lo que quiero es formular un primer orden de teoría de todo un "universo" de las categorías, como ZFC es un "universo" de conjuntos - no de primer orden de la teoría en la que los modelos son cada una de las categorías en general. Esto puede hacerse de varias formas: el universo podría ser una categoría en sí, efectivamente la formalización de Gato en una "Teoría Elemental de la Categoría de las Categorías." O, usted podría tal vez pensar en ella como una teoría de la 2-categoría 1-categorías, o algo así. (La discusión con user18921 en los comentarios más claro para mí que hay cierta confusión sobre este punto.)
Si lo anterior es imposible, entonces, como una pequeña concesión, voy a permitir que una sola función binaria $\circ$ para denotar la composición, aunque sería bueno ver si es posible incluso sin que. Yo esperaría que es, y mucho, en la misma forma en que $\cup$ $\cap$ no necesita ser definido explícitamente como símbolos de función en la firma de ZFC. (También se podría probablemente formalizar $circ$ en lugar de como una relación binaria, sólo denota que la composición de dos funciones existe).
Como antes, entiendo que esto va en contra de lo que algunos creen es el espíritu filosófico de la categoría de la teoría, pero todavía estoy curioso por saber si es posible de todos modos, así como un interesante rompecabezas lógico.
Mis comentarios de antes de que se repiten, como todavía se aplican, y son ahora más pertinente que el trivial solución a la pregunta original ya no se aplica:
Parece difícil para mí a primera vista. Una "categoría" que tiene un "set" de los "objetos" y otro de "los morfismos." Eso ya cuatro tipos de la cosa de la categoría de conjunto, de objetos, de morfismos.
Sin embargo, es posible identificar un "objeto" con la identidad morfismos en ese objeto. Así, quizás podría usar esta idea para llevar a a sólo tres tipos de cosas - en la categoría de conjunto, y morfismos.
Alternativamente, se podría decir que el "objeto" y "morfismos" son ambos tipos de la más fundamental de n-morfismos, y llegar a un tres clasificados de la teoría de categorías, las series y la n-morfismos.
También puede tratar de formalizar un "conjunto" como una categoría discreta, y traer abajo a sólo dos tipo de cosa de la categoría y (n-)de morfismos.
Si usted va con n-morfismos, tal vez usted podría tratar de identificar todos los n-morfismos con la (n+1)-la identidad de morfismos en él, y ver si se simplifica las cosas de alguna manera.
Las anteriores son algunas de las ideas que yo tenía; ni siquiera estoy seguro de que si hubieran trabajo. Pero suponiendo que hacer, que todavía deja con sólo dos cosas - categorías y morfismos - y no estoy seguro de si es posible ir un paso más allá y llegar a una cosa. Los pensamientos?
