Quiero mostrar que$(\mathbb{C}[x,y]/(xy))_{(x,y-k)}=\mathbb{C}[t]_{(t)}$.
Pero creo que el lado izquierdo tiene 2 variables, pero el derecho tiene sólo 1. ¿Es posible que los dos sean isomorfos?
Respuestas
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Asumiendo $k \ne 0$, sí.
Intuitivamente: $\mathbb{C}[x,y]/(xy)$ corresponde a la unión de los 2 ejes, y localizar en el ideal de la $(x,y-k)$ corresponde a un "barrio" de el punto de $(0,k)$. Cuando localizamos en$(0,k)$, $x$- eje ya no importa porque $(0,k)$ no está en el $x$-eje. Así que estamos en la localización de sólo el $y$eje- ( $\mathbb{C}[y]$ ) en el punto de $k$ (el ideal $y-k$), que es naturalmente isomorfo a $\mathbb{C}[t]$ localizada en $t$ (ambos son de la localización de una línea en un punto).
Algo más rigurosamente, si usted localizar $\mathbb{C}[x,y]/(xy)$$P = (x, y-k)$, el elemento $y$ (que no es en $P$) se convierte en invertible. Pero $xy=0$$\mathbb{C}[x,y]/(xy)$, y desde $y$ es invertible en la localización, tenemos $x=0$ en la localización. Por lo que la localización es isomorfo a $\mathbb{C}[0, y]$ localizada en $(0, y-k)$, que es el mismo que $\mathbb{C}[y]$ localizada en $(y-k)$.
El preciso isomorfismo envía $t \mapsto y-k$ es una dirección, y $x \mapsto 0, y \mapsto t+k$ en la otra dirección.
slolife
Puntos
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Al $k=0$, como se indica por Ted, la respuesta es no. El anillo de $\mathbf{C}[t]_{(t)}$, que es el anillo local de los afín a la línea en el origen, es un discreto anillo de valoración, y, en particular, es una parte integral de dominio. Sin embargo, la localización de $\mathbf{C}[x,y]/(xy)$$(x,y)$, que es el anillo local de la unión de los ejes de coordenadas en $\mathbf{A}_\mathbf{C}^2$ en el origen, no es un dominio. Geométricamente hablando, los dos irreductible componentes de $V(xy)$ ($x$$y$- ejes) ambas pasan por el origen, y esto implica que el anillo local en este punto no puede ser un dominio (porque mínima de los números primos del anillo local está en bijection con irreductible componentes que pasa por el origen). Concretamente, $x,y$ son los dos elementos del anillo que no son cero, pero cuyo producto $xy$ es cero. En el caso de que $k\neq 0$, según explicó Ted, este argumento no se aplica debido a que $y$ es una unidad y, por tanto, $x$ realmente es cero.
