Mi prueba de que una serie armónica diverge ..

Question

Supongamos que$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = S$ donde$S$ es finito. Entonces

ps

Que es una contradicción. ¿Es esto válido?

Answer 1

Una manera de expresar su argumento más formalmente es considerando las sumas parciales

ps

Puede limitar estas sumas parciales como lo hizo para obtener

{S} {2m} \ gt \ sum_ {n = 1} ^ m \ left {\ frac1 {2n} \ frac1 {2n} \ right) = \ sum_ {n = 1} ^ m \ frac1n = S_m \; . $$

Si las series convergieran, las secuencias$$S_{2m}=\sum_{n=1}^{2m}\frac1n=\sum_{n=1}^m\left(\frac1{2n-1}+\frac1{2n}\right)\;.$y$S_{2m}$tendrían que converger a un límite común, por lo que su diferencia tendría que converger a$S_m$para$0$, mientras que De hecho la diferencia entre ellos aumenta con$m\to\infty$.