¿Lo que ' s la diferencia entre racionales y irrationals - topológico?

Question

Sé que los conjuntos de los números racionales e irracionales son muy diferentes. En cierta medida, casi ningún número real es racional y, por supuesto, $\mathrm{card}(\mathbb Q) < \mathrm{card}(\mathbb R \setminus \mathbb Q) $ nos dice que de hecho hay mucho "más" irrationals que racional nubers.

Por otro lado, podemos observar la siguiente

• entre cada dos diferentes racionales, hay infinitamente muchos irrations
• entre cada dos diferentes irrationals, hay infinitamente muchos racionales
• ambos conjuntos son densos en $\mathbb R$, es decir, cada número real puede ser escrito como un límite de una secuencia de tanto racionales o irrationals
• ambos están desconectados, ni abierto ni cerrado
• ...

Así que me pregunto, ¿hay alguna manera de distinguir a $\mathbb Q$ $\mathbb R \setminus \mathbb Q$ desde una perspectiva topológica como subespacios de $\mathbb R$? Es allí cualquier manera de explicar por qué el conjunto es mucho más grande mirando la topología? En qué sentido son diferentes?

Answer 1

• Los números irracionales son un espacio de Baire (y también el espacio de Baire), y son completamente metrizable. Esto significa que no es un completo espacio métrico que es homeomórficos a los números irracionales con la topología de subespacio.

  Los números racionales, por otro lado, no es un espacio de Baire y no son completamente metrizable que significa que no son homeomórficos a cualquier espacio métrico completo.

• A partir de un "local" (Borel) perspectiva de la irrationals son un $G_\delta$ establece que no es $F_\sigma$, y los racionales (en consecuencia) son un $F_\sigma$ establece que no es $G_\delta$. Esto significa que el irrationals son la intersección de countably muchas de conjuntos, pero no la unión de countably muchos conjuntos cerrados.

  Debo añadir que el ser $G_\delta$ a veces se denota como $\bf\Pi^0_2$, y el ser $F_\sigma$ puede ser denotado como $\bf\Sigma^0_2$.

Las dos propiedades son casi los mismos. Se puede demostrar que $G_\delta$ subconjuntos de un espacio métrico completo (como $\mathbb R$) son exactamente aquellos subconjuntos que son completamente metrizable. Por otro lado, al no tener puntos aislados y ser completamente metrizable significa que usted es un espacio de Baire (y por lo tanto los racionales no son tales en el espacio).

Answer 2

Ambos espacios tienen caracterizaciones clásicas: lo racionales $\mathbb{Q}$ es (hasta Homeomorfismo) espacio métrico contable único sin puntos aislados. Los irrationals son (hasta Homeomorfismo) único separable espacio métrico que es totalmente metrizable, cero dimensional (tiene una base de conjuntos clopen) y nada localmente compacto (ningún punto tiene una vecindad compacta). Todas estas propiedades $\mathbb{Q}$ tiene también, excepto ser totalmente metrizable (porque no es un espacio de Baire).