Una función sin punto de inflexión

Question

Supongamos que$g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función doblemente diferenciable con una segunda derivada continua tal que para cada$a,b \in \mathbb{R}$ con$a<b$, existe un$c \in (a,b)$ tal que$g'(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}$. Demuestre que$f$ no tiene puntos de inflexión.

Creo que esto no es correcto. Considere la función$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ así la función satisface las condiciones anteriores, pero sabemos que entre un máximo y un mínimo se encuentra un punto de inflexión. ¿Es correcto mi razonamiento? ¿Puedes dar una prueba?

Answer 1

Supongamos que existe un punto de inflexión $p$$f$. A continuación, hay un barrio $(a, b)$ $p$ tal que $f''$ cambia de signo en el intervalo de $[a, b]$ exactamente en el punto de $p$. Ahora considere la línea que pasa a través de $(p, f(p))$ y tiene pendiente $m\neq f'(p)$. Elegimos $m>f'(p)$ si $f''$ es positiva a la derecha de $p$ lo contrario elegimos $m<f'(p)$. La ecuación de la línea deseada es $$y=f(p) +m(x-p) \tag{1}$$ and the points of intersection with curve $y=f(x)$ (apart from $(p, f(p))$) are given by solutions to $$f(x) = f(p) +m(x-p)\tag{2}$$ For values of $m$ near $f'(p)$ this will have two solutions $s, t$ such that $s<p<t$ and hence the line will intersect $y=f(x)$ in two points $(s, f(s))$ and $(t, f(t))$ such that $\leq s<p<t\leq b$. Now the equation $$f'(x) =\frac{f(s) - f(t)} {s-t}$$ has two roots one in $(s, p)$ and another in $(p, t)$ because of the equation $$\frac{f(s) - f(t)} {s-t} =\frac{f(s) - f(p)} {s - p} =\frac{f(p) - f(t)} {p-t}$$ tenemos Así el deseado contradicción.

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La ecuación de $(2)$ es más fácil de resolver, expresándola como $$m=\frac{f(x)-f(p)}{x-p}\tag{3}$$ And consider the case when $m>f'(p)$ ie when $f"(x)$ is positive in $(p, b]$ and consider the function $g$ defined by $$g(x) =\frac{f(x) - f(p)} {x-p}, g(p) =f'(p)$$ so that $g$ is continuous in $[a, b]$ and $g(x) >g(p)$ for all $x\in[a, b], x\neq p$ (because $f"$ is positive in $(p, b)$ and negative in $(a, p)$). Let $M, M'$ be the maximum values of $g$ in intervals $[a, p]$ and $[p, b]$ respectively. Then both $M, M'$ are greater than $g(p) =f'(p)$. If we choose $m$ such that $$f'(p) =g(p) <m<\min(M, M')$$ then via intermediate value theorem for continuous $g$ we can ensure that equation $(3)$ has a root in $(a, p)$ and a root in $(p, b)$.

Answer 2

Ponga$a=1$ y$b=3$ entonces la condición no se mantiene para su función ya que hay dos puntos dentro del intervalo (1,3) donde la derivada es$0$.

Answer 3

Su razonamiento no es correcto. La clave es "existe un único $c \in (a,b)$". Para su función$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$, considere$a = 1$,$b = 3$. Entonces y $f(a) = f(b) = 0$. Pero hay dos valores de$\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = 0$ (no sólo uno) tales que$c$ (es decir, dos puntos donde$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$, que son el máximo local y el mínimo local si traza% Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org