Demostrando que $a_n=\frac{n^2+2n+6}{n^3-3}\to 0$ $n\to\infty$

Question

$$a_n=\frac{n^2+2n+6}{n^3-3}$$

Así que quiero mostrar que la "$a_n\to a\iff\forall \epsilon>0,\quad\exists N\in\mathbb{N}:n\geq N\implies |a_n-a|<\epsilon$"

Entonces mi trabajo en bruto:

$|a_n-0| =\left|\frac{n^2+2n+6}{n^3-3}\right|<\epsilon$

Estimación de $\frac{n^2+2n+6}{n^3-3}<\frac{b_n}{c_n}$

Requieren $b_n>n^2+2n+6$, así que elige $b_n=2n^2>n^2+2n+6$ $n\geq 4$

Requieren $c_n<n^3-3$, así que elige $c_n=\frac{n^3}{2}<n^3-3$ $n\geq 2$

A continuación, vamos a $N=\frac{2n^3}{n^3/2}=\frac{4}{n}$

Así que ahora la prueba:

$$\text{Fix}\quad \epsilon>0.\quad\text{Pick}\quad N:N>\frac{4}{n}\quad\text{and}\quad N\geq 4$$

$$\implies \forall n\geq N,\quad |a_n-0|=\left|\frac{n^2+2n+6}{n^3-3}\right|<\frac{4}{n}\leq\frac{4}{N}\leq\epsilon$$

Es esto correcto? Es completamente rigurosa? He comenzado a hacer el análisis por mi cuenta, así que por favor señalar si algo está mal/no convencional, por lo que puedo conseguir en buenos hábitos en el inicio. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Debe probablemente especificar cómo elegir dependiendo de su $N$ $\epsilon$ y utilizar después la propiedad de Arquímedes si quiere ser completamente riguroso (para mostrar todos $\epsilon>0$ encontrará $N$ % s.t. $\frac 4 N < \epsilon$). Alternativamente, usted sólo podría multiplicar denumerator y presentador por $n^{-3}$ y utilizar algunos teoremas que permiten calcular límites de sumas y fracciones.

Answer 2

Una otra prueba podría utilizar la regla de L'Hopital. Esto debe ser muy rápida.

$$ f(n) = \frac{n^2 + 2n + 6}{n^3 - 3} ; f^"(n) = \frac{2}{6n} = \frac{1}{3n}$$

que parece ser mucho más fácil demostrar que esto va a cero como n va al infinito...

Answer 3

Si yo fuera usted, me gustaría simplemente multiplicada numerador y denominador por $1/n^2$, por lo que: $a_n = (1 + 2/n + 6/n^2)/(n -3/n^2)$. Desde la defenition de número infinito, tenemos $2/n$, $6/n^2$ y $-3/n^2$ todos iguales a 0: $a_n = (1 + 0 + 0)/(n + 0 + 0) = 1/n$ que es el 0 de la defenition mismo.

Answer 4

Sin entrar en el concreto de la secuencia:

Usted realmente no quiere mostrar que la primera de dos caras implicación, ya que se trata de la reformulación de la definición.

¿Qué quiere decir?

Se puede leer como:

"Si Una secuencia infinita $a_n$, indexado por $n$ (para poisition), converge al valor de $a$, entonces hay siempre una posición en la secuencia para que todos los nuevos elementos que están más cerca de lo que cualquiera que sea la distancia que desea, a $a$"

Así:

1. La capital $N$ es originalmente sólo acerca de la posición en la secuencia y no en los valores.

2. $N$ tiene que ser expresado (Si es por una desigualdad, entonces usted necesita más capitales) con $\epsilon$ y con "números".

3. La misión es encontrar a un experession más cerca de lo que originalmente la "intención"

En el ejemplo concreto sólo puede descaradamente se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia de $n$. A continuación, deberá especificar muchas excusas sobre el uso de la aritmética de los límites.

Alternativamente, usted puede y debe hacer uso de todos los ordinarios "re-expresión de los" trucos tienes que conseguir un bonito y tal vez hace mucho ineqality cadena que termina y termina obviamente. Esto es esencialmente lo que decidió hacer. Pero, usted puede hacerlo con mucho menos sudor.