Desigualdad de la serie de taylor truncada

Question

Me encontré con el siguiente hecho en un papel y estoy teniendo problemas para entender por qué es cierto:

Considere la posibilidad de que el error cometido cuando se altere la expansión de $e^a$ a $K$th plazo. Eligiendo $K = O(\frac{\log N}{\log \log N})$, podemos límite superior del error,$1/N$, en otras palabras $$\sum_{j={K+1}}^\infty \frac{a^j}{j!} \leq \frac{1}{N}.$$

Aquí, el $O$ es "big-O" notación. Estoy pensando en una aproximación de Stirling, probablemente, tiene que ser utilizado en el denominador, pero todavía no se puede reproducir este resultado. Tal vez esto es algo conocido que yo no soy consciente de que?

Answer 1

Lo que se pide demostrar es la siguiente: existe una constante $C$ que si $$ K \ge C \frac{\log N}{\log \log N} $$ entonces $$ \sum_{j=K+1}^\infty \frac{a^j}{j!} \le \frac1N. \tag1$$ Ahora claramente el lado izquierdo de (1) crece hasta el infinito como $a \to \infty$, por lo que debe ser ese $C$ depende de $a$. Supongamos $K \ge 2a$ (que sigue a si $C \ge 2a$). A continuación, el lado izquierdo de (1) puede estar acotada arriba por una serie geométrica $$ \sum_{j=K+1}^\infty \frac{a^{K}}{K!} 2^{j-K} = \frac{a^K}{K!} .$$ Ahora el uso de la fórmula de Stirling.

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Por cierto, si quieres una forma mucho más nítida resultado, el uso de la aproximación de la distribución de Poisson la distribución normal, y la Prueba de la parte superior de la cola de la desigualdad de la distribución normal estándar, para obtener $$ K \ge C \sqrt{\log N} .$$