Campo de inclinación universal de fracciones

Question

Deje $R$ que no sea un anillo conmutativo con unidad. Un sesgo de campo $K$ contiene $R$ es un llamado universal sesgar campo de fracciones de $R$ si

• es generado por $R$ como un sesgo de campo (es decir, no existe una adecuada subskewfield de $K$ contiene $R$)
• para cualquier inclinación campo $L$ y cualquier morfismos de anillos de $\varphi : R \to L$ existe un sub-anillo $K_0$ $K$ $R \subseteq K_0$ y un morfismos de anillos de $\theta : K_0 \to L$ extender $\varphi$ y con la propiedad de que $$ \forall x \in K_0 (x^{-1} \en K_0 \Leftrightarrow \theta(x) \neq 0). $$

Esta es la definición que vi en un curso de geometría no conmutativa. Pasamos a examinar algunos ejemplos, pero hay un montón de cosas que todavía no me queda claro:

• ¿Por qué el 'ingenuo' generalización de la universalización de la propiedad en la propiedad conmutativa caso de no dar a la noción de derecho en la no-conmutativa caso?
• ¿En qué categoría es la definición de un universal sesgar campo de fracciones en realidad un objeto inicial? No necesitamos singularidad de $K_0$$\varphi$?
• Porque ¿por qué iba a el universal sesgar campo de fracciones de ser único hasta el isomorfismo?

Tenga en cuenta que la singularidad no se sigue del hecho de que $R$ genera $K$. Un ejemplo de mi curso (boceto):

Deje $k$ ser un conmutativa campo, $k<x_1, x_2>$ el polinomio anillo en dos no los desplazamientos variables. Para cada $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 2$ considerar el sesgo polinomio anillo de $k[t][X, n]$, en el que $tX = Xt^n$. Este es un derecho de Mineral de anillo, por lo tanto puede ser incrustado dentro de un sesgo de campo. También uno tiene una incrustación $$ \phi_n : k < x_1, x_2 > \k[t], [X, n] $$ mediante el establecimiento $\phi_n(x_1) = X$$\phi_n(x_2) = Xt$, pero los campos generados por $\phi_n(k < x_1, x_2 >)$ $\phi_m(k < x_1, x_2 >)$ son no isomorfos si $n \neq m$, uno tiene $$ \phi_n(x_1)^{-1}\phi_n(x_2)\phi_n(x_1) = X^{-1}XtX = tX = Xt^n = Xtt^{n-1} = Xt(X^{-1}Xt)^{n-1} = \phi_n(x_2)(\phi_n(x_1)\phi_n(x_2))^{n-1} $$ y esto depende de la elección de $n$!

Answer 1

El ejemplo que dan muestra por qué el 'ingenuo' idea no funciona para los no-conmutativa de los anillos en general. La libre álgebra $R=k\langle x_1,x_2\rangle$ tiene diferentes sesgar los campos de fracciones. Pero cualquier mapa entre sesgar los campos de fracciones de $R$ debe ser un isomorfismo, entonces podría ser sólo un "universal" (en el sentido ingenuo) skew campo de fracciones, si hay un único sesgo campo de fracciones.

La categoría de derecho en el que tomar el objeto inicial es bastante descrito por la segunda parte de su definición de lo universal sesgar campo de fracciones:

Si $R$ es un anillo, entonces el sesgo campos de fracciones de $R$ forma una categoría donde una de morfismos de $R\hookrightarrow K$ $R\hookrightarrow L$es una "especialización"; es decir, un (necesariamente surjective) anillo homomorphism $\beta: K_0\to L$ a partir de un sub-anillo $K_0$ $K$ $R\subseteq K_0$ con la propiedad de que $\beta$ es la identidad en $R$ y $\ker(\beta)$ es, precisamente, el conjunto de no-unidades de $K_0$. El universal sesgar campo de fracciones es el objeto inicial de esta categoría.