Homeomorfismo entre espacios homeomorfa

Question

Tengo un examen de práctica de problema que pide para probar o refutar la siguiente declaración.

Cada continuo bijection entre homeomórficos espacios es un homeomorphism.

Ahora se basa en todo lo que sé acerca de la topología, me siento como que tengo varias maneras de demostrar que esto es de hecho falso. Pero luego empecé a adivinar a mí mismo, basado en la redacción de la pregunta. Es un poco difícil para mí para interpretar lo que esta pregunta es realmente preguntando.

Así que ya sabemos que tenemos homeomórficos espacios de $(X,\tau_1), (X,\tau_2)$. Pero, ¿son realmente homeomórficos si $\tau_1\neq \tau_2$?

Supongo que lo que estoy realmente confundido acerca de lo que significa homeomórficos espacios precisamente. Porque sé que un bijection es un homeomorphism si y sólo si es abierto (cerrado), que es equivalente a decir que un bijection es un homeomorphism si y sólo si $\tau_1=\tau_2$. Pero si tenía que ser igual en el orden de los espacios a ser incluso homeomórficos para empezar, entonces no podemos argumentar que cualquier continua bijection entre los espacios tiene que ser un homeomorphism?

Answer 1

El tipo más simple de ejemplo a tener en cuenta es el siguiente: vamos a $X$ ser un conjunto con más de dos elementos, y dotar a $X$ con la topología discreta (en el que cada subconjunto de $X$ es abierto). Luego de cada función con dominio de $X$ es continua. Ahora escribo $Y$ para el espacio topológico cuyo conjunto subyacente es $X$, pero con cualquier topología que es estrictamente más grueso que el de $X$ (por ejemplo, la topología trivial en el que el único abrir los subconjuntos de un conjunto vacío y $X$). A continuación, el mapa de identidad $X \rightarrow Y$ es un continuo bijection que no es un homeomorphism.

A tu pregunta, las dos topologías diferentes en $X$ son iguales si y sólo si el mapa de identidad es un homeomorphism entre ellos; más en general, dado un bijection $\phi: X \longrightarrow X$, el mapa de $\phi$ es un homeomorphism si y sólo si $\tau_2=\phi(\tau_1)$.

Para un ejemplo de un espacio con una continua bijection a sí mismo que no es un homeomorphism, tome $X=\mathbf{Q}_{>0}$ a ser el de los números racionales positivos con la topología consta de conjuntos de la forma$(m,\infty)$$m \in \mathbf{Z}_{\geq 0}$, junto con $\emptyset$. Tome $\phi$ a ser la multiplicación por $1/2$ mapa. Evidentemente $\phi$ es un continuo bijection, pero no es un homeomorphism.

Answer 2

Porque sé que un bijection es un homeomorphism si y sólo si es abierto (cerrado), que es equivalente a decir que un bijection es un homeomorphism si y sólo si $\tau_1=\tau_2$.

Esto no es cierto. Tomar, por ejemplo, $\Bbb R$ con las topologías

\begin{align} \tau_1 &= \{(a,b)\mid a<0<b\},\\ \tau_2 &= \{(a,b)\mid a<1<b\}. \end{align}

Las topologías son diferentes . Sin embargo, estos espacios son homeomórficos porque no es el mapa de $\varphi:x\mapsto x+1$ que es un homeomorphism. Incluso no es necesario que los dos espacios topológicos tienen que ser definidos en la misma base del espacio. Un espacio topológico $(\Bbb R,\tau_1)$ puede ser homeomorph a un espacio de $(\Bbb R^2,\tau_2)$ definido de forma adecuada las topologías.

Se homeomórficos sólo significa que las topologías que son esencialmente de la misma con respecto a todo lo que es importante en el tema de la topología. Pero no es que sean de la misma a partir de un conjunto teórico punto de vista.

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Cada continuo bijection entre homeomórficos espacios es un homeomorphism.

No estoy seguro de si su pregunta contiene lo que usted nos pide responder a esta pregunta, pero por si acaso, aquí está un ejemplo contrario:

Tome $X=\Bbb N\times[0,1)$ con el producto topology (topología de subespacio de $\Bbb N$ $[0,1)$ respectivamente). Siempre se puede tomar dos de los intervalos de $[0,1)$ y unirlos en uno solo, pegando sus límites. Este es continua, bijective y deja atrás el mismo espacio de $\Bbb N\times [0,1)$. Pero no es un homeomorphism debido a la inversa no es continua (porque de corte de una sola intervalo en dos).

Además, esta pregunta tiene muy buen respuestas de la misma tarea, donde $X$ es aún conectado.