En las páginas 8 y 9 de la Topología de la diferenciable punto de vista, Milnor demuestra el teorema fundamental del álgebra. Lo hace por primera transformación de nuestro polinomio $P:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ en función de $f:\hat{\mathbb{C}} \rightarrow \hat{\mathbb{C}}$ sobre la esfera de Riemann. Pero, no veo por qué mudarse a $\hat{\mathbb{C}}$ es necesario. He aquí el argumento:
El próximo observar que $f$ tiene sólo un número finito de puntos críticos; por $P$ falla al ser un local diffeomorphism sólo en los ceros de la derivada polinomio $P$ y hay sólo un número finito de ceros desde $P'$ no es idéntica a cero. El conjunto de regular los valores de $f$, siendo una esfera con un número finito de puntos retirados, por lo tanto es conectado. Por lo tanto localmente constante de la función $\#f^{-1}(y)$ realidad debe de ser constante en este conjunto. Desde $\#f^{-1}(y)$ no puede ser cero en todas partes, llegamos a la conclusión de que es cero, la nada. Por lo tanto $f$ es una en la asignación, y el polinomio $P$ debe tener un cero.
No veo por qué no podemos aplicar este argumento a $P$ directamente. Después de todo, un avión con un número finito de puntos quitado todavía está conectado; esta propiedad no es exclusivo de la esfera.
Pregunta. Si tratamos de reemplazar $f$ $P$ en Milnor de la prueba, lo que va mal?
