Interacción derivado: $\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq - \mathcal{L}_\mathrm{int}$. Pregunta sobre reglas de Feynman

Question

Como se sabe, si hay tiempo derivado de la interacción en $\mathcal L_\mathrm{int}$,$\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq -\mathcal{L}_\mathrm{int}$. Por ejemplo, Escalar QED, $$ \begin{aligned} \mathcal{L}_\mathrm{int}&= -ie \phi^\dagger(\partial_\mu \phi) A^\mu+ie(\partial_\mu \phi^\dagger) \phi A^\mu +e^2\phi^\dagger \phi A_\mu A^\mu \\ \mathcal{H}_\mathrm{int}&=-\mathcal{L}_\mathrm{int} -e^2 \phi^\dagger\phi (A^0)^2 \end{aligned} $$ No es el último término de romper la invariancia de Lorentz.

Derivación: \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&(\partial_\mu+i e A_\mu)\phi (\partial^\mu-i e A^\mu)\phi^\dagger-m^2\phi^\dagger \phi\\ &=&\mathcal{L}_0^\mathrm{KG}+\mathcal{L}_\mathrm{int} \end{eqnarray} donde $$\mathcal{L}_0^\mathrm{KG}=\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi^\dagger-m^2\phi^\dagger \phi$$ $$\mathcal{L}_\mathrm{int}= -ie \phi^\dagger(\partial_\mu \phi) A^\mu+ie(\partial_\mu \phi^\dagger) \phi A^\mu +e^2\phi^\dagger \phi A_\mu A^\mu $$

$$\pi=\frac{\partial \mathcal{ L}}{\partial(\partial_0 \phi)}=\partial^0\phi^\dagger-i e A^0 \phi^\dagger$$

$$\pi^\dagger=\frac{\partial \mathcal{ L}}{\partial(\partial_0 \phi^\dagger)}=\partial^0\phi+i e A^0 \phi $$

\begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\pi \dot\phi+\pi^\dagger \dot\phi^\dagger-\mathcal{L} \\ &=&\pi \dot\phi+\pi^\dagger \dot\phi^\dagger-(\dot\phi^\dagger\dot\phi-\nabla\phi^\dagger \cdot\nabla\phi-m^2 \phi^\dagger\phi)-\mathcal{L}_\mathrm{int} \\ &=&\pi(\pi^\dagger-ieA^0\phi)+\pi^\dagger (\pi +ieA^0\phi^\dagger)-((\pi^\dagger-ieA^0\phi)(\pi +ieA^0\phi^\dagger)-\nabla\phi^\dagger \cdot\nabla\phi-m^2 \phi^\dagger\phi)-\mathcal{L}_\mathrm{int}\\ &=&(\pi^\dagger \pi + \nabla\phi^\dagger \cdot\nabla\phi+m^2 \phi^\dagger\phi)-\mathcal{L}_\mathrm{int} -e^2 \phi^\dagger\phi (A^0)^2 \\ &=&\mathcal{H}_0^\mathrm{KG}+\mathcal{H}_\mathrm{int} \end{eqnarray}

Mis preguntas:

1. Las Reglas de Feynman para Escalar QED es aquí. Pero vemos que hay un plazo adicional en la interacción Hamitonian $ -e^2 \phi^\dagger\phi (A^0)^2$, de acuerdo a la Mecha del teorema, se debe tener cierta contribución a Feynman Regla que no ocurre en este libro de texto. He calculado este vértice y me parece que es distinto de cero. Por qué no hay reglas de Feynman para tales Lorentz romper plazo?

2. Como se sabe, para la ruta integral de cuantización, el espacio de coordenadas ruta integral: $$Z_1= \int D q\ \exp\left(\int dt\ L(q,\dot q) \right)$$ Y el espacio de fase ruta integral: $$Z_2= \int D p\, D q\ \exp\left(\int dt\ p\dot q -H(p,q) \right)$$ Sólo para este tipo de Lagrange $L=\dot q^2-V(p)$,$Z_1=Z_2$. (Las Reglas de Feynman para Escalar QED en el libro de texto es el mismo como lo que se deriva por el espacio de coordenadas ruta integral. ) Considero que el 2do método de la ruta integral de cuantización es siempre equivalente a la cuantización canónica. Así que para Escalar QED, son estos dos tipos de ruta integral de cuantización mismo? Cómo probar?

3. Para no abelian teoría de gauge, no es derivado de la interacción, incluso en el medidor de campo. Parece que todos los libros de texto de uso $Z_1$ para obtener las reglas de Feynman. Son estos dos tipos de ruta integral de cuantización mismo no abelian medidor de campo? Si no lo mismo, ¿por qué elegir el espacio de coordenadas ruta integral? Es el axioma porque coincide con el experimento?

Answer 1

Algunas observaciones generales:

1. En el operador de formalismo, la no-covariante plazo adicional en el Hamiltoniano es anulada por una no-covariante término que viene de la ingenua tiempo de pedido símbolo: $$ \mathrm T\sim\mathrm T_\mathrm{cov}-e^2\phi^2A^2_0 $$

   Usted puede encontrar los detalles en la ref.1, sección 6-1-4.

   Por otro lado, el caso de la ruta integral de formalismo es cubierto por el punto 2 a continuación.

2. La equivalencia formal $Z_1=Z_2$ puede ser probado por cualquier Hamiltoniano de la forma $$ H\sim A^{ij}\pi_i\pi_j+B^i(\phi)\pi_i+C(\phi) $$ de que su Hamiltoniano es un ejemplo de. Para la prueba y la discusión correspondiente, véase ref.2, Vol.1., la sección 9.3.

3. Para la discusión de la ruta integral de la cuantificación de la no-abelian calibre teorías, véase ref.2, Vol.2, capítulos 15.4 -- 15.8. Ref.1, capítulo 12-2 también vale la pena leer. En definitiva, "$Z_1=Z_2$" hasta las sutilezas introducido por el indicador de la invariancia.

Referencias

[1] Itzykson Y Zuber, la teoría Cuántica de campos.

[2] Weinberg, la teoría Cuántica de campos.

Answer 2

AccidentalFourierTransform ya ha dado una buena respuesta. Aquí vamos a dar más detalles de la$^1$ para una clase de no-indicador derivado de las interacciones.

1. Partimos de un Lagrangiano de acción, $$ S[Q]~=~\int\! dt~ L~=~S_0[Q]+S_{\rm int}[Q], \qquad L~=~ L_0(Q,\dot{Q})+L_{\rm int}(Q,\dot{Q}),$$ $$ S_0[Q]~=~\int\! dt~ L_0(Q,\dot{Q}), \qquad L_0(Q,\dot{Q})~=~\frac{1}{2}\dot{Q}^2~=~\frac{1}{2} \dot{Q}^i G_{ij} \dot{Q}^j,$$ $$ S_{\rm int}[Q]~=~\int\! dt~ L_{\rm int}(Q,\dot{Q}), \qquad L_{\rm int}(Q,\dot{Q})~=~A_i\dot{Q}^i - V, $$ $$ G_{ij}~=~G_{ij}(Q), \qquad A_i~=~A_i(Q), \qquad V~=~V(Q), \tag{1}$$ que es cuadrática en las velocidades. Vamos a asumir que el Lagrangiano de acción (1) es manifiestamente covariante Lorentz. (Estamos utilizando DeWitt condensada notación para suprimir espacial (pero no temporal) dimensiones, que puede superficialmente ocultar el manifiesto de la covariancia Lorentz.) El impulso de leer $$ P_i~=~G_{ij}\dot{Q}^j+A_i.\tag{2}$$ Destacamos que el Hamiltoniano correspondiente acción también es covariante Lorentz, $$ S_H[Q,P]~=~\int\! dt~ L_H~=~S_{H,0}[Q,P]+S_{H,{\rm int}}[Q,P], $$ $$ L_H~=~P_i \dot{Q}^i-H(Q,P), \qquad H(Q,P)~=~H_0(Q,P)+H_{\rm int}(Q,P), $$ $$ S_{H,0}[Q,P]~=~\int\! dt~ L_{H,0}, \qquad L_{H,0} ~=~P_i \dot{Q}^i-H_0(Q,P), \qquad H_0(Q,P)~=~\frac{1}{2}P^2~=~\frac{1}{2}P_i G^{ij}P_j,$$ $$S_{H,{\rm int}}[Q,P] ~=~-\int\! dt~H_{\rm int}(Q,P), \qquad H_{\rm int}(Q,P)~=~ -A^iP_i + \color{red}{\frac{1}{2} A^2}+V,\tag{3}$$ a pesar de la no-covariante plazo marcado en leer en eq. (3). Podemos mencionar para una posterior instructivo comparación con eq. (6) a continuación $$ L_{\rm int}(Q,\dot{Q})+H_{\rm int}(Q,P) ~\stackrel{(1)+(2)+(3)}{=}~ - \color{red}{\frac{1}{2}^2(Q)},\etiqueta{4}$$ aunque eq. (4) no se utiliza en lo que sigue. Por ahora sólo hemos discutido la teoría clásica. En el correspondiente mecánica cuántica operador de formulación, los operadores de $\hat{Q}^i$ $\hat{P}_j$ están en la imagen de Heisenberg.

2. Estamos próximos a considerar la interacción de la imagen. Aquí la velocidad y el momento están relacionados a través de $$\dot{q}^i~=~\frac{\partial H_0(q,p)}{\partial p_i}~=~G^{ij}p_j,\tag{5}$$ la cual debe ser comparada con la correspondiente relación (2) en la imagen de Heisenberg. Esto tiene dos consecuencias. En primer lugar, que se derivan de la algo sorprendente relación $$ L_{\rm int}(q,\dot{q})+H_{\rm int}(q,p)~\stackrel{(5)}{=}~\color{red}{\frac{1}{2} A^2(q)},\tag{6}$$ el que tiene el signo opuesto de eq. (4)! Este signo de eq. (6) será importante en lo que sigue. En segundo lugar, se obtiene la igualdad de tiempo de CCR $$ [\hat{q}^i(t),\dot{\hat{q}}^j(t)]~\stackrel{(5)}{=}~i\hbar~ G^{ij} {\bf 1}. \tag{7} $$ Se deriva que la covariante de tiempo de pedido es $$ T_{\rm cov} \{\dot{\hat{q}}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\}~\equiv~\frac{d}{dt_1}\frac{d}{dt_2} T \{\hat{q}^i(t_1)\hat{q}^j(t_2)\}~\stackrel{(7)}{=}~T \{\dot{\hat{q}}^i(t_1)\dot{\hat{q}}^j(t_2)\} +\color{red}{i\hbar~ G^{ij} {\bf 1} \delta(t_1\!-\!t_2)}. \tag{8}$$ Consideremos a continuación un Wilson línea $$ \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ A_i(q)\dot{q}^i \right\}. \tag{9}$$ A partir de la Mecha del teorema, eq. (8) exponentiates a $$ T_{\rm cov} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ A_i(\hat{q})\dot{\hat{q}}^i \right\}~\stackrel{(8)}{=}~ T \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt\left( A_i(\hat{q})\dot{\hat{q}}^i -\color{red}{\frac{1}{2} A^2(\hat{q})} \right)\right\} . \tag{10}$$

3. Ahora estamos listos para considerar la posibilidad de$^2$ el Hamiltoniano del espacio de fase ruta integral/función de partición $$Z_H~\sim~\int\! {\cal D}Q~{\cal D}P~ \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_H[P,Q]\right\} $$ $$~\sim~\langle \Omega | T \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ H(\hat{Q},\hat{P})\right\}| \Omega \rangle$$ $$~\sim~\langle \omega | T \exp\left\{ - \frac{i}{\hbar}\int\!dt~ H_{\rm int}(\hat{q},\hat{p})\right\}| \omega \rangle$$ $$~\stackrel{(6)}{=}~\langle \omega | T \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\int\!dt\left( L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}})-\color{red}{\frac{1}{2} A^2(\hat{q})} \right)\right\}| \omega \rangle$$ $$~\stackrel{(10)}{=}~\langle \omega | T_{\rm cov} \exp\left\{ \frac{i}{\manejadores}\int\!dt~ L_{\rm int}(\hat{q},\dot{\hat{q}})\right\}| \omega \rangle ,\etiqueta{11}$$ donde el $\sim$ símbolo denota la igualdad de hasta un constante factor de normalización. Nos encontramos con dos mecánicas cuánticas efectos de cancelar, el no-covariante plazo en la interacción de Hamilton (6) y la Mecha del teorema (10), de modo que la función de partición (11) es covariante Lorentz.

4. El Lagrangiano de la ruta integral $$Z_L~\sim~\int\! {\cal D}Q \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S[Q]\right\} \tag{12}$$ puede diferir de la de Hamilton espacio de fase ruta integral (11), porque carece de la determinante de la Gaussiana de la integración sobre los ímpetus $P$.

Referencias:

1. M. D. Schwartz, QFT y el Modelo Estándar, 2014; en la Sección 9.2.

2. C. Itzykson & J. B. Zuber, QFT, 1985; Inciso 6-1-4.

3. S. Weinberg, la Teoría Cuántica de Campos, Vol. 1, 1995; Secciones 7.2, 7.5 y 9.3.

--

$^1$ Notación: vamos a suprimir espacial (pero no temperal) dimensiones mediante el uso de DeWitt notación condensada. Letras mayúsculas para los campos en la imagen de Heisenberg y letras pequeñas para los campos en la interacción de la imagen. La métrica $G_{ij}(Q)$ en el espacio de configuración no debe ser confundido con el espacio(tiempo) de la métrica.

$^2$ Cabe destacar que esta derivación es formal y descaradamente se centra en la no-covariante plazo marcado en rojo. Hemos ignorado diversas de orden superior, operador-orden de cuestiones, cf. por ejemplo, este y este Phys.SE postes.