Evaluar

Question

Evaluar $\displaystyle \prod_{n=1}^{80}n^{80-n} \pmod{83}$.

Tentativa:

¿El producto es\begin{align*}\prod_{n=1}^{80}n^{80-n} &= 1^{79} \cdot 2^{78} \cdot 3^{77} \cdots 79^1 \cdot 80^0\\&\equiv -2^{78} \cdot 3^{77} \cdot 4^{77} \cdots 41^{77}\\&\equiv -2 \cdot (1 \cdot 2 \cdots 41)^{77} \\&\equiv -2(1 \cdot 2 \cdots 41)^{77}\pmod{83}\end{align*} tenga en cuenta que $$1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdots \left(\dfrac{p-1}{2}\right)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \pmod{p}$$ for a prime $p $. Thus for $ 83$ we find $$(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 41)^2 \equiv (-1)^{\frac{83+1}{2}} \equiv (-1)^{42} \equiv 1 \pmod{83}.$$ But if $x ^ 2 \equiv 1 \pmod{p}$, then $x \equiv \pm 1 \pmod{p}$. How do we eliminate the case that $1 \cdot 2 \cdots 41 \equiv -1 \pmod{83}$?

Answer 1

$\prod_{n=1}^{82} n^{80-n} \mod 83$, Podríamos emparejar cada $n$ $83-n$: $$ n^{80-n} (83-n)^{n-3} \equiv n^{80-n} (-n)^{n-3} \equiv (-1)^{n-3} n^{77}$ $ para que % $ $$ \prod_{n=1}^{82} n^{80-n} \equiv \prod_{n=1}^{41} (-1)^{n-3} n^{77} \mod 83$

$\prod_{n=1}^{41} (-1)^{n-3}$ tiene factores de $20$ $-1$ (uno para cada uno de ellos incluso $n$) por lo que es $1$. $\prod_{n=1}^{41} n \equiv 1 \mod 83$, que $\prod_{n=1}^{41} n^{77} \equiv 1 \mod 83$ así. Así $$ \prod_{n=1}^{82} n^{80-n} \equiv 1 \mod 83$ $ pero te estás perdiendo el % de casos $n=81 \equiv -2$y $n = 82 \equiv -1$, hasta multiplicar por $81^{81-80} \equiv 81 \mod 83$ y $82^{82-80} \equiv (-1)^2 \equiv 1 \mod 83$ resultante en $$ \prod_{n=1}^{80} n^{80-n} \equiv 81 \mod 83$ $