Su mejor apuesta es seguir la pista de dos cosas para ambos lados: ¿qué tan probable que este resultado particular es, y qué tan probable es que nada menos que este resultado es. Dadas estas podemos multiplicar juntos con relativa facilidad.
$$\begin{array}{r|rr|rr|r}
x & 3\text{d}6 = x & 3\text{d}6 < x & 1\text{d}20 = x & 1\text{d}20 < x & 1\text{d}20 < x \cap 3\text{d}6 = x\\
\hline
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
3 & 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \\
4 & 3 & 1 & 1 & 3 & 9 \\
5 & 6 & 4 & 1 & 4 & 24 \\
6 & 10 & 10 & 1 & 5 & 50 \\
7 & 15 & 20 & 1 & 6 & 90 \\
8 & 21 & 35 & 1 & 7 & 147 \\
9 & 25 & 56 & 1 & 8 & 200 \\
10 & 27 & 81 & 1 & 9 & 243 \\
11 & 27 & 108 & 1 & 10 & 270 \\
12 & 25 & 135 & 1 & 11 & 275 \\
13 & 21 & 160 & 1 & 12 & 252 \\
14 & 15 & 181 & 1 & 13 & 195 \\
15 & 10 & 196 & 1 & 14 & 140 \\
16 & 6 & 206 & 1 & 15 & 90 \\
17 & 3 & 212 & 1 & 16 & 48 \\
18 & 1 & 215 & 1 & 17 & 17 \\
19 & 0 & 216 & 1 & 18 & 0 \\
20 & 0 & 216 & 1 & 19 & 0 \\
\hline
\text{total} & 216 & & 20 & & 2052
\end{array}$$
Total de todo lo que en la columna de la derecha, se divide por el total de la $3\text{d}6 = x$ $1\text{d}20 = x$ columnas, y usted gana: Bob gana $\frac{2052}{4320} = \frac{19}{40} = 0.475$ del tiempo.
Para obtener los lazos, o donde Bill gana, cambio ¿qué pares de multiplicar: tanto en$=$, para los lazos, y $3\text{d}6 < x$ $1\text{d}20 = x$ de la Factura de la gana.
Este en particular es muy interesante: debido a que ambas distribuciones son simétricas, y tienen la misma media, Bill y Bob que tanto ganar la misma proporción del tiempo.
Se me ocurre que hay otra parte a esta pregunta: ¿cómo podemos calcular eficientemente resultado probabilidades de combinaciones de dados?
La respuesta a que es una operación que se llama convolución, que voy a presentar aquí en forma discreta.
Dadas dos funciones $f(x)$$g(x)$, la convolución es $$(f * g)(x) = \sum_{k = -\infty}^\infty f(k)g(x-k)$$
Esto se puede interpretar en la teoría de la probabilidad como la siguiente: tenemos dos variables aleatorias $f$$g$, con funciones de probabilidad $f(x)$$g(x)$. la función de probabilidad para $f + g$ -- sumar los dos resultados juntos -- es igual a $(f * g)(x)$.
Obviamente, con los infinitos que hay, tenemos que jugar con él un poco para realmente hacer nada. En nuestro caso, debido a que estamos tratando con dados, nuestras funciones tienen lo que se llama un apoyo limitado: sólo son no-cero en un área pequeña, por lo que sólo necesitamos cubrir esa área pequeña.
Vamos a hacer un ejemplo específico. Supongamos que queremos calcular la probabilidad de que voy a obtener un $7$ en $3\text{d}6$. $3\text{d}6$ es el mismo $1\text{d}6$ + $2\text{d}6$, así que puedo convolución estos dos. Voy a llamar a sus funciones $f$ $g$ respectivamente.
$f$ aquí tiene soporte limitado: los únicos valores es distinto de cero para se $1$ a través de $6$. Esto nos permite cambiar los límites de nuestra suma a los límites de la $f$'s de apoyo.
$$\begin{align}
(f * g)(7) &= \sum_{k=1}^6 f(k)g(7 - k)\\
&= f(1)g(6) + f(2)g(5) + f(3)g(4) + f(4)g(3) + f(5)g(2) + f(6)g(1) \\
&= \frac{1}{6}\cdot\frac{5}{36} + \frac{1}{6}\cdot\frac{4}{36} + \frac{1}{6}\cdot\frac{3}{36} + \frac{1}{6}\cdot\frac{2}{36} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{36} + \frac{1}{6}\cdot\frac{0}{36} \\
&= \frac{15}{216}
\end{align}$$
El uso de la convolución, entonces, podemos calcular la probabilidad de que la suma de los resultados de varios dados, sin necesariamente considerar cada evento simple: para calcular, es decir, la distribución de probabilidad de $5\text{d}6$, se puede tomar la distribución de $4\text{d}6$ y la distribución de $1\text{d}6$ y de convolución. Y para conseguir $4\text{d}6$'s de distribución podemos convolución $3\text{d}6$$1\text{d}6$, etc. Así que en lugar de contar los $7776$ de posibilidades, que en lugar de manejar $21\cdot6 + 16\cdot6 + 11\cdot6 + 6\cdot6 = 324$ total de multiplicaciones y un número similar de adiciones.
