¿Puede el compuesto de dos relaciones suaves dejar de serlo?

Question

Definición 0. Dejemos que $A$ y $B$ denotan las variedades lisas. Entonces a relación suave $A \rightarrow B$ es un submanifold liso de $A \times B$ .

Definición 1. Relaciones dadas $P : A \rightarrow B$ y $Q : B \rightarrow C$ definir una relación $Q \circ P : A \rightarrow C$ en la forma habitual :

$$(a,c) \in Q \circ P \leftrightarrow \exists b \in B((b,c) \in Q \wedge (a,b) \in P)$$

Pregunta. ¿Existen relaciones fluidas $P : A \rightarrow B$ y $Q : B \rightarrow C$ tal que $Q \circ P$ ¿no es suave?

Sospecho que la respuesta es "sí", por la siguiente razón: dados los submanifolds $P \subseteq A \times B$ y $Q \subseteq B \times C$ mi intuición geométrica me dice que los submanifolds $P \times C$ y $A \times Q$ no necesariamente se cruzan transversalmente. Por ejemplo, piense en $A=B=C=\mathbb{R}$ . Supongamos que $P$ y $Q$ son el círculo unitario. Entonces $P \times \mathbb{R}$ y $\mathbb{R} \times Q$ son cilindros en ángulo recto entre sí. Debería haber puntos en los que estos no se cruzan transversalmente. Tal vez eso ayude.

Answer 1

Su contraejemplo conjetural funciona perfectamente.

Dejemos que $P = \{(a,b): a^2+b^2=1\}$ y $Q=\{(b,c):b^2+c^2=1\}$ .

Entonces $$\begin{align} (a,c)\in Q\circ P &\iff \exists b:a^2+b^2=1 \text{ and } b^2+c^2=1 \\ &\iff \pm\sqrt{1-a^2} = \pm\sqrt{1-c^2} \\ &\iff a^2=c^2 \text{ and } a^2,c^2\le 1. \end{align}$$

Así, $Q\circ P$ parece una X, que no es un colector. Considera la vista superior de esta figura:

Paul Bourke, " Cilindros de intersección ", 2003

Answer 2

Primero, déjame asegurarme de que lo entiendo. Dejemos que $A$ y $B$ sean colectores. Por un relación $A \to B$ se refiere a un subconjunto de $A \times B$ Y a esa relación la llamas suave si ese subconjunto es un submanifold liso. Si está bien, prefiero quedarme con la terminología de subconjunto-llamar a un subconjunto de un colector suave si es un submanifold liso.

1. Dado un subconjunto del colector $A$ y un subconjunto del colector $B$ su producto es un subconjunto de $A \times B$ y si esos subconjuntos son suaves, también lo es su producto.
2. $A$ es un subconjunto suave de $A$ .
3. Dado un subconjunto de $A \times B$ , su proyección a $A$ es la colección de $a$ en $A$ tal que, para algunos $b$ en $B$ , $(a, b)$ está en el subconjunto dado. Es falso en general que la proyección de un subconjunto liso sea un subconjunto liso.
4. Dados dos subconjuntos de $A$ su intersección es un subconjunto de $A$ pero es falso en general que la intersección de dos subconjuntos suaves sea suave.

En términos de estos, podemos describir su construcción como sigue. Sea dado un subconjunto $P$ de $A \times B$ y un subconjunto $Q$ de $B \times C$ . Primero, toma $P \times C$ -un subconjunto de $A \times B \times C$ -y $A \times Q$ -también un subconjunto de $A \times B \times C$ . En segundo lugar, interceptar esos dos subconjuntos. Y tercero, proyectar esa intersección a $A \times C$ . Es decir, obtenemos de las relaciones $A \to B$ y $B \to C$ a una relación $A \to C$ . Ahora, en el caso en que $P$ y $Q$ son suaves, el primer paso anterior dará lugar a subconjuntos suaves, pero el segundo y el tercero, en general, no. Por lo tanto, no se espera que su construcción produzca un subconjunto suave.