Seno de la log: $\int_0^\pi \theta^2 \ln^2\big(2\sin\frac{\theta}{2}\big)d \theta.$

Question

Hola estoy tratando de calcular $$ I:=\int_0^\pi \theta^2 \ln^2\big(2\sin\frac{\theta}{2}\big)d \theta. $$ Aquí está una relativa Integral...$\int_0^\pi \theta^2 \ln^2\big(2\cos\frac{\theta}{2}\big)d \theta$.. Este documento también puede ser de interés para la gente de aquí : http://www.math.uwo.ca/~dborwein/cv/zeta4.pdf.

Podemos ampliar el registro en la integral para obtener tres interals, un trivial, los otros 2 no son tan fáciles, ¿alguna idea? He intentado hacer lo siguiente $$ \left( \ln 2 +\ln \sin \frac{\theta}{2} \right)^2=\ln^2(2)+\ln^2\sin\frac{\theta}{2}+2\ln (2)\ln \sin\big(\frac{\theta}{2}\big). $$ Podemos escribir como yo $$ I=\ln^2(2)\int_0^\pi \theta^2d\theta +\int_0^\pi\theta^2 \ln^2 \sin \frac{\theta}{2}d\theta+2\ln 2 \int_0^\pi\theta^2 \ln \sin{\frac{\theta}{2}}d\theta. $$ El cambio de las variables de $x=\theta/2$ y la realización de la trivial integral obtenemos $$ I=\frac{\pi^3\ln^2 2}{3}+8\int_0^{\pi/2} x^2 \ln^2 \sin x\, dx+16\ln 2\int_0^{\pi/2} x^2 \ln \sin x \, dx. $$ Estoy atascado en este punto, yo estaba tratando de trabajar de alguna manera estas dos integrales en el formulario de $$ \int_0^{\pi/2} \ln \sen x dx= \frac{-\pi\ln(2)}{2}\approx -1.08879 $$ pero no podía hacerlo. Gracias.

Answer 1

Sugerencia:

$$\int_0^\pi\theta^2\ln^2\left(2\sin\dfrac{\theta}{2}\right)d\theta$$

$$=\int_\pi^0(\pi-\theta)^2\ln^2\left(2\sin\dfrac{\pi-\theta}{2}\right)d(\pi-\theta)$$

$$=\int_0^\pi\theta^2\ln^2\left(2\cos\dfrac{\theta}{2}\right)d\theta-2\pi\int_0^\pi\theta\ln^2\left(2\cos\dfrac{\theta}{2}\right)d\theta+\pi^2\int_0^\pi\ln^2\left(2\cos\dfrac{\theta}{2}\right)d\theta$$

Que pueden utilizar el resultado en Integral $\int_0^\pi \theta^2 \ln^2\big(2\cos\frac{\theta}{2}\big)d \theta$.