He estado estudiando espacios de Sobolev y fácil de ecuaciones en derivadas parciales en esos espacios por un tiempo y ahora sigo preguntando acerca de las normas en estos espacios. Es obvio que tenemos la costumbre de la norma $\|\cdot\|_{W^{k,p}}$, pero algunas pruebas también el uso de la semi-norma $|\cdot|_{W^{k,p}}$ y realmente no entiendo por qué hemos de hacer uso de esta semi-norma? ¿Por qué es la norma $\|\cdot\|_{W^{k,p}}$ no es suficiente? Empecé argumentando que el semi-norma es más fácil de calcular (en caso de que uno realmente quiere hacer eso), pero no creo que realmente es la razón, después de todo, nunca he visto a nadie realmente el cálculo de estas normas para las pruebas ni nada. Entonces, ¿hay otras razones para el uso de este semi-norma?
Respuesta
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Doy un par de razones, adherida a la caja $k=1$ por la simplicidad.
El comportamiento de la escala. Si la escala de la variable como $u_r(x)=u(rx)$, la homogeneidad de la norma de $u_r$ puede ser expresada en términos de la norma homogénea de $u$: es decir, $|u_r|_{W^{1,p}}=r^{p-n}|u|_{W^{1,p}}$ donde $n$ es la dimensión. No hay tal relación para el total Sobolev norma: debido a que los derivados de los diferentes órdenes de la escala de manera diferente, el comportamiento de la suma de los mismos en escala está desordenado.
Invariancia conforme. Observar que el factor de $r^{p-n}$ en el punto 1 desaparece cuando se $p=n$. En este caso, la homogeneidad de Sobolev norma es invariante bajo la escala, y (por un simple argumento) en virtud de conformación de los mapas. Hay pocos conformación de mapas cuando $n>2$, pero la invariancia conforme de la integral de Dirichlet $|\cdot|_{W^{1,2}}^2$ en el caso de $n=p=2$ es tremendamente útil. El Sobolev norma $\|\cdot\|_{W^{1,2}}$ no es invariantes conformes.
La desigualdad de Poincaré $\|u-u_\Omega\|_{L^p}\le C\|Du\|_{L^p}$ naturalmente tiene el homogéneos seminorm como el lado derecho, ya que expresa el hecho de que el tamaño de los controles de degradado el tamaño de la propia función. Si nos incluía la totalidad de Sobolev norma en el derecho, la desigualdad sería trivial.
La desigualdad de Sobolev $\|u\|_{L^{p^*}}\le C\|Du\|_{L^p}$ (donde $u$ es de forma compacta compatible) tiene, por supuesto, la homogeneidad de las seminorm como la mano derecha. Esto permite a ambos lados de la escala de la misma manera, lo que hace posible tener $C=C(p,n)$ independiente del tamaño de soporte. De hecho, la fuerte constante $C(p,n)$ ha sido conocido desde la década de 1960 (Rodemich, Aubin, Talenti): véase, por ejemplo, Temas en Óptimas Transporte por Villani. Después de afirmar que la fórmula para las funciones de la $h_p$ para que la fuerte desigualdad de Sobolev se convierte en la igualdad, Villani observaciones:
Tenga en cuenta que $h_p$ no necesariamente se encuentran en $L^p$ (que no tiene importancia alguna).
En pocas palabras: la adición de $L^p$ norma de $u$ (inferior y derivados) la homogeneidad de la norma es un rápido, pero sucia manera de obtener un espacio de Banach. A menudo es preferible trabajar con $|\cdot|_{W^{k,p}}$, tomando el cociente por el constante funciones para hacer de ella una norma.
