Falla en prueba de que la secuencia de Fibonacci está delimitada por $(5/3)^n$ de inducción

Question

La secuencia de Fibonacci se define en $a_1 = 1, a_2 = 1$ y % todos $n \ge 2, a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$. Así comienza la secuencia

$$1,1,2,3,5,8,13,21,...$$

Demostrar que todos $n \ge 1, a_n < (5/3)^n$

Aquí está lo que he probado. Pero no estoy seguro de lo que está mal con él.

Caso, base $n = 1$: $$a_1 = 1 > \frac{5}{3}$ $

Paso inductivo: asumir que $a_n < (\frac{5}{3})^n$ % todo $1 \le k \le n$como la hipótesis inductiva.

$$a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$$

$$a_{n+1} < \left(\frac{5}{3}\right)^n + \left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}$$

$$a_{n+1} < \left(\frac{5}{3}\right)^{n-1} \cdot \left(\frac{5}{3}+1\right)$$

$$a_{n+1} < \left(\frac{5}{3}\right)^{n-1} \cdot \left(\frac{8}{3}\right)$$

$$\left(\frac{8}{3}\right) < \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{9}$$

$$a_{n+1} < \left(\frac{5}{3}\right)^{n-1} \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^2$$

$$a_{n+1} < \left(\frac{5}{3}\right)^{n+1}$$

Answer 1

Un par de errores de ortografía, y la sugerencia a considerar; pero fundamentalmente, hay muy poco de "mal" con su prueba. Se hizo la parte más difícil, y la prueba está bien (con errores ortográficos corregidos!)

• Como se señaló en los comentarios, desea que el sentido de la desigualdad para el caso base $a_1$ invertido. (Errata?).

• Con esta prueba, te sugiero que también se considera la segunda caso base: establecimiento: $$a_2 = 1 \lt \left(\frac 53\right)^2.$$

• Lo que sospecho es que otra errata, escribió $\left(\frac 52\right)^2$ pero quiero $\left(\frac 53\right)^2$ en el tercero de la última línea.

• Por último, y lo que es más importante, [esta es la sugerencia que le estoy pidiendo para considerar]: no tengas miedo a usar más palabras en una prueba: Explicar lo que está haciendo. Es necesario dejar en claro las relaciones entre sus líneas de razonamiento: la Línea (i) $\iff$ Línea (j)? O no una determinada la desigualdad implica la posterior desigualdad? Si es así, indicar que, en palabras o símbolos: por ejemplo, el uso de: "$\implies.$"