Prueba $\sqrt{x + y} \le \sqrt{x} + \sqrt{y}$

Question

¿Cómo puedo demostrar $\sqrt{x + y} \le \sqrt{x} + \sqrt{y}$ ? para $x, y$ ¿positiva?

Esto debería ser fácil, pero no veo cómo. Se agradecería una pista.

Answer 1

Para los positivos $x, y$ :

$$\sqrt{x + y} \leq \sqrt{x} + \sqrt{y} \iff \left(\sqrt{x + y}\right)^2 \leq \left(\sqrt x + \sqrt y\right)^2 \iff \color{green}{\bf x + y \leq x + y }\color{blue}{+ \bf 2\sqrt{xy}}$$

¿Qué puedes concluir sobre la "desigualdad" de la izquierda, dada su equivalencia con la ${\bf rightmost\;inequality}$ ?

Answer 2

Una pista: Para los números positivos $a$ y $b$ , $$a\leq b\iff a^2\leq b^2.$$

Answer 3

Dibuja un triángulo rectángulo con los dos lados que forman el $90^\circ$ ángulo de longitud $\sqrt{x}$ y $\sqrt{y}$ . Entonces, por el Teorema de Pitágoras, la Hipotenusa es $\sqrt{x+y}$ .

Como la suma de dos aristas supera a la tercera arista se obtiene

$$\sqrt{x+y} < \sqrt{x}+\sqrt{y} \,.$$

Answer 4

Poniendo todo junto, supongamos $x,y>0$ . Entonces $0\le2\sqrt{xy}$ . Por lo tanto: $$ \sqrt{x+y} = \sqrt{x+0+y} \le \sqrt{x+2\sqrt{xy}+y} = \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} = \sqrt{x}+\sqrt{y} $$ como se desea. Tenga en cuenta que esto se basó en el hecho de que $f(x)=\sqrt{x}$ es monótonamente creciente.