Lo que $n^7+7$ nunca puede ser un cuadrado perfecto.

Question

Demostrar que para un número entero positivo $n$ $n^7+7$ no puede ser un cuadrado perfecto.

He podido ver que $n \equiv 5 \pmod{8}$ o $n \equiv 9 \pmod{16}$. Pero nada de eso así que supongo que es necesario otro enfoque??? Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Para mostrar que $n^7 + 7 = x^2$ no tiene solución, vamos a utilizar el hecho de que

$n^7 - 7 = x^2$ tiene una solución a saber,$n = 2$$x = 11$.

Supongamos $n^7 + 7 = x^2$. La adición de a $2^7 - 7 = 11^2$ tenemos $n^7 + 2^7 = x^2 + 11^2$ Llame a $m = n + 2$. Entonces

$n^7 + 2^7 = (m - 2)^7 + 2^7 =$

$sum[0 <= k <= 7] (7 C k m^k (-2)^(7-k) + 2^7$

$= sum[1 <= k <= 7] (7 C k)(-1)^(k-1) m^k (2)^(7-k)$ $m$ puede ser factorizado y obtener

$n^7 + 2^7 = m * sum[1 <= k <= 7] (7 C k)(-1)^(k-1) m^(k-1) (2)^(7-k)$

Vamos a escribir $n^7 + 2^7 = m*M.$

Tenga en cuenta que $M = m^6 -7*2*m^5 + - + -21*2^5m + 7*2^6$

Por lo tanto MCD(m,M) es un divisor de a $7*2^6$

Tenga en cuenta que a $Z4$, las plazas son 0 y 1. Por lo tanto $n^7 + 7 = 0$ o $1$$Z4$, lo que implica que n es impar.

Esto implica que m es impar. Por lo tanto MCD(m,M)$1 or 7$.

Observar que en Z7, las plazas son 0,1,2,4. Por lo tanto la suma de 2 cuadrados puede ser un múltiplo de 7, sólo si ambos cuadrados son en sí mismos múltiplos de 7. Desde el 11 no es, $x^2 + 11^2$ no puede ser un múltiplo de $7$.

Por lo tanto MCD(m,M) = 1.

Ahora bien, si el mM es una suma de 2 cuadrados, su plaza libre parte tiene factores primos sólo de la forma p = 4k + 1.

De ahí que el mismo es cierto para m, ya que $GCD(m,M) = 1$.

Esto implica que $m = 1 mod 4$ $n = m - 2 = - 1 . mod 4$

Por lo tanto $n^7 + 7 = -1 -1 = 2 mod 4$ y no es un cuadrado.

Esto produce una contradicción: $n^7 + 7$ no puede ser un cuadrado.

Answer 2

Si mostró tanto de esas cosas, entonces debe ser ciertos.
¿Puede mostrar que las plazas no pueden ser 5 mod 8?