¿Cuál es la diferencia entre una variedad y un colector?

Question

Oigo que la gente utiliza estas palabras de forma relativamente intercambiable. Creo que cualquier variedad diferenciable también puede convertirse en una variedad (cuyos datos, si no he entendido mal, incluyen implícitamente un espacio ambiental ), pero no me queda claro si las únicas variedades no variables deben ser las que no admiten estructuras suaves. Espero que haya algo más que eso.

También he oído que los esquemas afines son a los esquemas las coordenadas locales son a los colectores, así que tal vez mi pregunta debería ser sobre los esquemas en su lugar -- ni siquiera sé lo suficiente para saber...

Answer 1

Si es francés, una variedad es un colector.

Si no, la conexión es un poco más sutil. El análogo correcto de un colector es un esquema de tipo finito sobre un campo. Es decir, tiene una cobertura compatible por espectros de anillos (que es similar al requisito de que un colector tenga una cobertura por copias compatibles del espacio euclidiano), y vive sobre un campo (el espacio base es un "punto" honesto). Aquí, estoy siendo intencionadamente vago sobre la "compatibilidad", ya que esto me llevaría a una discusión de gavillas que prefiero no discutir a menos que lo consideres necesario.

La noción clásica de variedad se parece mucho más a la noción clásica de colector (véase, por ejemplo, el libro de Milnor "Topología desde un punto de vista diferenciable"). La noción clásica de colector es simplemente un subconjunto localmente cerrado de $\mathbf{P}^n(\mathbf{R})$ (o simplemente $\mathbf{R}^n$ (aunque el hecho de considerar subconjuntos localmente cerrados de un espacio proyectivo hace que la analogía sea mucho más fuerte), y la noción de variedad (cuasi-proyectiva, supongo) proviene de considerar subconjuntos localmente cerrados de un espacio proyectivo.

Por último, existe un teorema de Serre llamado GAGA (Géométrie algébrique et géométrie analytique), que dice que, en casos agradables, podemos "sustituir" las variedades complejas por variedades analíticas complejas para "hacer" cohomología y obtener una mejor imagen del espacio real subyacente. (Aquí, por variedad compleja nos referimos simplemente a los esquemas de tipo finito sobre $\mathbf{C}$ )

Answer 2

En inglés (a diferencia del francés, en el que variedad lingüística y múltiple son sinónimos) la palabra variedad es la abreviatura de variedad algebraica . Las principales diferencias, pues, entre las variedades (algebraicas) y las variedades (lisas) son que:

(i) Las variedades se recortan en su espacio ambiente (afín o proyectivo) como los lugares cero de las funciones polinómicas, en lugar de simplemente como los lugares cero de las funciones suaves. Esto les da una estructura más rígida. (Aquí estoy pensando sólo en las variedades cuasi-proyectivas; hay objetos que la gente llama variedades que no se pueden sumergir en el espacio proyectivo, pero no hay necesidad de pensar en ellos cuando se está aprendiendo el tema. Además, no es necesario considerar que una variedad se encuentra en un espacio eulcidio ambiental, sino que siempre puede estar inmersa en uno, y entonces se puede pensar que se recorta como el lugar cero de las funciones suaves funciones suaves).

La rigidez de las variedades se refleja en la definición de isomorfismo: definimos que dos variedades son isomorfas si podemos encontrar mapas polinómicos que den lugar a biyecciones mutuamente inversas de una a otra, mientras que dos variedades son isomorfas (es decir, difeomorfas) si podemos encontrar mapas suaves que den lugar a biyecciones mutuamente inversas entre ellas. Resulta, por ejemplo, que el único difeomorfismo invariante de una superficie compacta conectada es su género $g$ mientras que si nos fijamos en las curvas proyectivas lisas conectadas sobre los números complejos (que, cuando nos olvidamos de la estructura de la variedad y sólo pensamos en ellas como colectores, son superficies compactas conectadas --- nótese que una dimensión compleja da dos reales dimensiones reales) entonces el género no es un invariante completo. Para un género fijo $g \geq 2$ , hay un $6g-6$ -familia de curvas no isomorfas de género $g$ . (Cuando $g = 1$ hay un $2$ -y cuando $g = 0$ La estructura de la variedad la estructura de la variedad está realmente determinada de forma única. Además, por "dimensión" aquí me refiero a la dimensión real; pero estas familias tienen sus propias estructuras de variedades algebraicas naturales, de la mitad de la dimensión --- es decir, hay un $3 g - 3$ variedad dimensional que parametriza las clases de isomorfismo de género $g$ curvas cuando $g \geq 2$ . De nuevo, la reducción a la mitad de la dimensión refleja la diferencia entre la dimensión real y la compleja).

(ii) Las variedades pueden admitir singularidades, mientras que nosotros estipulamos que las variedades sean no singulares (es decir, localmente euclidianas). Aquí es útil pensar en el hecho de que el lugar crítico de una (colección de) función(es) suave(s) puede ser bastante desagradable, por lo que si consideramos los lugares cero de las funciones suaves y permitimos singularidades, permitiremos singularidades extremadamente desagradables. Por otro lado el lugar crítico de una (colección) de polinomios no es tan malo (por ejemplo, siempre es de codimensión al menos uno en el lugar cero), por lo que permitir las singularidades en la teoría resulta estar bien (y de hecho estar más que bien; resulta ser una de las características más poderosas de la geometría algebraica).

Answer 3

Una variedad suele definirse como el conjunto cero de algunos polinomios. No sé mucho sobre esto, pero creo que la gente suele llamar "colectores algebraicos" a los colectores que pueden realizarse como variedades. Tomemos por ejemplo el polinomio $x^2+y^2-1$ , entonces el conjunto cero de este es $x^2+y^2=1$ o el círculo $S^1$ . Se trata, pues, de un colector algebraico.

Por ejemplo, puede haber variedades que no sean colectores, $y^2-x^2(x+1)=0$ es una "cúbica nodal" y por tanto tiene una singularidad en $(0,0)$ . No puede ser un colector porque se parece a "X" una cruz en el origen por lo que no es homeomorfo localmente a $\mathbb{R}$ .

Existe un teorema muy útil, a veces llamado Teorema del Conjunto Regular de Niveles, que dice que si se tiene un mapa suave $M\to N$ , entonces el conjunto de niveles de un valor regular es una variedad suave. Así que en este caso particular, nuestro polinomio $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es un mapa suave, y nos importa si el cero es un valor regular o no.

Esto equivale a comprobar si la matriz $(\frac{\partial f}{\partial x_1}(c), \ldots , \frac{\partial f}{\partial x_n}(c))$ tiene rango 1 en absoluto $c$ tal que $f(c)=0$ . es decir, si al menos una de las derivadas parciales es distinta de cero. Esto se puede extender fácilmente para trabajar si su variedad está definida por un montón de polinomios $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ .

Esto tiene un nombre, llamado criterio jacobiano, y para las variedades dice que si el jacobiano tiene rango completo, entonces la variedad es no singular. Pero estas dos cosas son equivalentes (el criterio jacobiano para la variedad no singular y el teorema del conjunto de niveles para ser una variedad lisa). Por lo tanto, toda variedad no singular es una variedad lisa (para que quede claro, se considera que "variedad" es el conjunto cero de una colección de polinomios sobre $\mathbb{R}$ )

Así que, para reiterar, algunas variedades son variedades (si los polinomios definidores satisfacen una determinada condición sobre las derivadas parciales) y otras no. ¿Son variedades todas las variedades lisas? Creo que no, pero parece más difícil. Una rápida búsqueda en Google da lugar a un resultado que parece decir que toda variedad compacta y lisa es algebraica.