¿Es la homología de Floer siempre isomorfa a la homología singular de algún espacio?

Question

Después de estudiar la homología de Morse, ahora estoy estudiando las siguientes teorías de homología de Floer :

1) Homología de Floer simpléctica ;

2) Homología de Floer de los lagrangianos ;

3) Homología de Heegard-Floer ;

4) Homología instantánea de Floer ;

5) Homología de Seiberg-Witten-Floer ;

He visto que la homología de Morse de una variedad compacta $M$ es isomorfo a la homología singular de $M$ .

Del mismo modo, me pregunto si 1), 3), 4) y 5) son siempre isomorfas a la homología singular de algún espacio correspondiente. Si no es así, ¿bajo qué condiciones lo son?

Además, ¿la 2) está vinculada de una u otra manera a las otras?

Answer 1

Son dos preguntas muy diferentes y muy bonitas. La respuesta correcta es "probablemente".

En primer lugar, debo responder a lo que podría considerarse una pregunta ingenua: "¿la homología de Floer es la homología de la variedad que estamos introduciendo? ¿el espacio de conexiones? ¿el espacio de moduli de las trayectorias?" - las respuestas a todas ellas son no. La manera de obtener un espacio es Parcheando juntos estos espacios de trayectorias de alguna manera, o algún tipo de índice de Conley.

La homología de Floer - digamos la homología de Floer de Seiberg-Witten - es un functor $\text{Cob}_{3+1} \to \text{GrAb}$ . Ha habido cierto interés en saber si se puede elevar esto, como preguntas, como un functor a espacios. Bueno, los mapas de cobordismo a menudo inducen cambios de grado, lo que no tendría sentido a nivel de espacios; así que uno se pregunta si se puede extender esto como un functor a los espectros.

Como punto filosófico, la forma en que funciona la teoría de Morse es que se pueden adjuntar los colectores inestables como celdas del índice apropiado. Esta es también la razón por la que en la aplicación original de Morse a los espacios de bucles de los grupos de Lie, pudo reconstruir en su mayor parte la topología del espacio de bucles: los puntos críticos sólo tenían un número finito de valores propios negativos del hessiano, por lo que se adjuntan celdas para cada colector inestable. En la teoría de Floer, siempre hay infinitos valores propios positivos y negativos en un punto crítico, así que eso no tiene mucho sentido. Tienes un relativa índice, y a menudo una graduación absoluta, por lo que se puede decir que algún punto crítico debe representar una célula 0, las cosas que difieren de ella en índice por 1 una célula 1, pero también las células -1, etc; esto tiene sentido en el sentido de los espectros/tipos de homotopía estables.

El primer lugar donde se puede ver a la gente pensando en esta idea es en Cohen-Jones-Segal, "Teoría de Morse de dimensión infinita y teoría de la homotopía" . (Estas ideas son tal vez un poco demasiado rígidas: suponen ciertos resultados de suavidad de los espacios de moduli que no siempre son muy realistas). La idea es tomar los espacios de moduli de las trayectorias y unirlos como celdas estables de algún espectro, del mismo modo que se unen los espacios de trayectorias en la teoría de Morse para obtener una estructura CW en toda la variedad. La homología del espectro resultante debería coincidir con la homología de Floer.

En realidad, este programa se ha llevado a cabo hasta cierto punto en la teoría de Seiberg-Witten (que debería decir que es isomorfa a la homología de Heegaard Floer, aunque todavía no se sabe si este isomorfismo es natural; casi seguro que lo es). Manolescu construyó un espectro de Seiberg-Witten cuando $b_1(M) = 0$ aquí ; este año, mostró con Tye Lidman aquí que la homología de este espectro es realmente isomorfa a la homología de Floer de Seiberg-Witten. (Olvidé si se sabe que es naturalmente isomorfa, pero de nuevo es casi seguro que lo es). Lo extendió con Kronheimer a la $b_1 \leq 1$ (cuando la estructura de espín-c es de no torsión) y Khandhawit-Lin-Sasahira extendió esto a todos los 3-manifolds orientados cerrados (aunque todavía no hay mapas de cobordismo, y esto debería estar calculando la homología de Seiberg-Witten-Floer con coeficientes realmente retorcidos).

Para entender estas cuestiones, recomiendo la sección 6 del estudio de Manolescu aquí .

Existen serios problemas para llevar a cabo las ideas de Manolescu (o de Cohen-Jones-Segal) en la homología de instantones, procedentes del burbujeo. Abouzaid y Kragh tienen algunos trabajos sobre los tipos de homotopía de Floer en las teorías simplécticas (y lagrangianas), y creo que Abouzaid y Manolescu están haciendo más trabajos sobre esto ahora, aunque no estoy particularmente familiarizado con ellos.

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La homología de Heegaard Floer se define de forma similar a la teoría de intersección lagrangiana (utilizando submanifolds totalmente reales de $\text{Sym}^g(\Sigma_g)$ ), aunque Perutz ha demostrado ahora que puede definirse completamente en términos de homología de intersección lagrangiana. La conjetura de Atiyah-Floer dice que la homología de Floer instantánea de una esfera homológica $\Sigma$ debe ser la misma que la homología de intersección lagrangiana de dos submanifolds en la variedad de representación $\text{Hom}(\pi_1 \Sigma_g, SU(2))/SU(2)$ correspondiente a una división de Heegaard de género $g$ - hay que advertir que se trata de una variedad simpléctica singular, por lo que no existe una noción bien definida de homología de intersección lagrangiana. No sé exactamente a qué te refieres con la homología de Floer simpléctica, pero yo apostaría por que también es un caso especial de la homología de Floer lagrangiana.

Answer 2

En el caso de la homología de Floer del haz cotangente la respuesta es sí. Deberías echar un vistazo a esto: La transferencia de Viterbo como mapa de espectros por Thomas Kragh.