¿Es el cuántico análogo de una distribución de probabilidad la función de onda o la matriz de densidad?

Question

Clásicamente, las distribuciones de probabilidad son no negativos medidas reales, en el espacio de todos los posibles resultados que añadir a 1. Lo que significa que está abierto a debate entre Bayesians, frequentists y el conjunto de interpretaciones. Un degenerado de distribución es el menos distribución al azar con una probabilidad de 1 para un determinado fijo evento, y 0 para todo lo demás.

¿Cuál es el análogo de un clásico de distribución de probabilidad de la mecánica cuántica? Es una función de onda aumentada con la que Nace de la interpretación de las probabilidades, o es la matriz de densidad? Hace un puro densidad de la matriz corresponden a una distribución degenerada?

Answer 1

Esta pregunta es bastante amplia, pero voy a tratar de abordar el tema principal. Un estado $|\psi\rangle$ es alinear suma de vectores propios $|n\rangle$, de modo que $$ |\psi\rangle~=~\sum_nc_n|n\rangle. $$ Las probabilidades de que tal vez de calcular directamente esta forma de $\langle\psi|\psi\rangle$ $=~1$ como $$ \langle\psi|\psi\rangle~=~\sum_{mn}c^*_mc_n\langle m|n\rangle $$ y desde $\langle m|n\rangle~=~\delta_{mn}$ y el de las amplitudes de definir las probabilidades como su módulo al cuadrado $ c^*_nc_n~=~P_n$ esta expectativa es sólo una suma de las probabilidades. El nacido entonces el gobierno dice que para un observable ${\cal O}$ diagonal en esta base con ${\cal O}|n\rangle~=~o_n|n\rangle$ el valor esperado de la observables para $|\psi\rangle$ es entonces $$ \langle\psi|{\cal O}\psi\rangle~=~\sum_{mn}c^*_mc_no_n \langle m| n\rangle~=~\sum_no_nP_n. $$ Esta es sólo la suma de los autovalores de la observables veces sus probabilidades de ser observado.

La matriz de densidad es realmente una forma de generalización de este. Consideramos que el exterior del producto de los estados como de la densidad del operador $$ {\hat\rho}~=~|\psi\rangle\langle\psi|~=~\sum_{mn}c^*_mc_n|n\rangle\langle m| $$ que es una representación de la matriz de este operador. La traza de la matriz de densidad, $Tr{\hat\rho}~=~\sum_n\langle n|{\hat\rho}|n\rangle$ da como resultado la suma de las probabilidades. Os dejo como ejercicio para evaluar un observable en la traza $Tr{\cal O}{\hat\rho}$ a derivar el Nacido de la regla.

El módulo de los cuadrados de las amplitudes de definir las probabilidades, que son valorados. Así, la conexión entre los estados y las probabilidades no es uno a uno. Una de las razones de la gente como la densidad de la matriz es que hay más de una conexión entre un lineal de quantum del operador y de las probabilidades en el seguimiento de la operación.

Answer 2

Voy a reproducir en mi comentario de más arriba.

El punto es, quizás, que la teoría cuántica de los estados no son los análogos de distribuciones de probabilidad, al menos no exactamente. Me sugieren arxiv.org/abs/quant-ph/0101012v4 como un interesante intento de exprimir los dos tan cerca como pueden ser (34 páginas, pero Lucien Hardy es relativamente fácil lectura). Yo no soy tan feliz como me gustaría con esta respuesta, por lo que es un comentario, no una Respuesta.

Decidí que era perezoso, y miró a Lucien de papel, por lo que podría ser su relevancia a su Pregunta. Lucien toma cuántica de estados puros para ser análoga suficiente para degenerar probabilidades para el uso de la idea. Donde que resulta interesante es la forma en que luego se puede caracterizar la diferencia entre lo clásico probabilística de los estados y de estados cuánticos, dado este punto de partida. La característica distintiva es su quinto axioma,

"Axioma 5 De Continuidad. Existe una continua transformación reversible en un sistema entre dos estados puros de ese sistema."

De la OMI, esta es sin duda una curiosa manera de construir cosas. Tiene un marcado su defecto, que se limita a lo finito-dimensional de Hilbert espacios y distribuciones de probabilidad sobre un conjunto finito de resultados, y AFAIK nadie se ha extendido Lucien del análisis de infinitas dimensiones de Hilbert espacios de probabilidad y espacios, lo que disminuye su interés, a menos que, en cualquier caso, trabajar sólo con finito dimensionales de Hilbert espacios (como usted puede, si usted trabaja en información cuántica).

El punto que me gustaría hacer acerca de esto es que esta es una interesante analogía parcial, aunque no sé que más directamente relacionados a experimentar el uso se ha hecho de ella. Bien puede ser que vale la pena pensar en términos de este parcial analogía un poco más, pero mi evaluación personal ha sido que esto no es algo que vale la pena colgar mi sombrero en forma exclusiva. Por otro lado, sólo si uno se sumerge a sí mismo en una forma de pensar en un compromiso de que los nuevos resultados venir de cualquier parte, y es porque las personas han realizado diferentes opciones que puedo hacer que se obtienen resultados diferentes.

En cualquier caso, creo que Lucien del papel es relevante para usted. Tiene, para mí, la misma sensación como la forma en que usted le ha pedido a su Pregunta.

Answer 3

Se puede hacer una muy fuerte analogía formal entre la densidad de la matriz clásica y distribuciones de probabilidad. Una forma alternativa de pensar de las variables aleatorias de una distribución particular es en lugar de centrarse en un álgebra de características observables. Las variables aleatorias se cerró en productos, sumas, complejo de conjugación, y así sucesivamente, y la expectativa (con respecto a una distribución dada) debe ser un funcional lineal. Esto puede ser modelado perfectamente bien con el estándar $\langle X \rangle = \operatorname{Tr} (\rho X)$ de la mecánica cuántica.

Visto de esta manera, la clásica de las distribuciones de probabilidad son el caso especial en el que todos los operadores conmutan. Ya que todo el viaje, que puede ser al mismo tiempo diagonalized, y por lo tanto evrything observables acerca de la distribución es totalmente capturado por los elementos de la diagonal en esta base. La posible no-conmutatividad de los operadores en el quantum caso permite comportamientos diferentes que en el caso clásico, por supuesto. (Si no, podría ser el caso clásico, en lugar de análoga para el caso clásico.) En esta imagen, wavefunctions son más análoga a la clásica ontic estados, pero con la curiosa característica de que estos estado puro tiene preguntas sin respuestas definitivas.

Answer 4

La densidad de la matriz es el análogo cuántico de un clásico de densidad de probabilidad.

Si usted escribe la mecánica cuántica desde el principio, en términos de un álgebra de características observables y densidad de las matrices (en lugar de las funciones de onda y operadores), que se parece mucho a un directo de la generalización de la mecánica clásica, en el sentido de que casi todo es igual, excepto que la conmutatividad de la multiplicación se pierde. (De hecho, en las matemáticas, el objeto de estudio de la probabilístico aspectos de la mecánica cuántica, el formalismo es generalmente llamado "probabilidad no conmutativa".)

Usted puede convencerse de esto mirando mi libro "Clásica y la Mecánica Cuántica a través de álgebras de Lie" (http://lanl.arxiv.org/abs/0810.1019), donde este enfoque es seguido de forma sistemática.

Por ejemplo (que se refieren directamente a tu pregunta), en la clásica teoría de la probabilidad de un estado puro (con una distribución degenerada en su terminología) se caracteriza por cero de la entropía, y en la mecánica cuántica, un estado puro (es decir, uno en el cual la densidad de la matriz puede ser escrito como $\psi\psi^*$ con una función de onda $\psi$ también se caracteriza por cero de la entropía. La fórmula de la entropía también es el mismo; $S=\langle -\log\rho\rangle$, con la expectativa adoptadas en el estado $\rho$.

Se expresa directamente en términos de la matriz de densidad, la mecánica cuántica se rige por los siguientes seis axiomas y su explicación. (Esto es tomado de la Sección "Postulados para los formales básicos de la mecánica cuántica" del Capítulo A1: conceptos Fundamentales de la mecánica cuántica de mi física teórica de preguntas frecuentes.)

Tenga en cuenta que la única diferencia entre la clásica y la mecánica cuántica en esta axiomática opción es que

el caso clásico sólo funciona con la diagonal de los operadores, donde todas las operaciones suceder pointwise en los elementos de la diagonal. Por lo tanto la multiplicación es conmutativa, y uno puede identificar a los operadores y funciones. En particular, la densidad de mattrix degenera en una densidad de probabilidad.
el quantum caso permite no conmutativa operadores, por lo tanto ambos cantidades observables y la densidad (generalmente de dimensiones infinitas) de matrices.

A1. Un sistema genérico (por ejemplo, una molécula de hidrógeno") se define por la especificación de un espacio de Hilbert $K$ y un (densamente definido, auto-adjunto) Hermitian lineal operador $H$ llamado el Hamiltoniano o la energía.

A2. Un sistema en particular (por ejemplo, 'los iones en la trampa de iones en este en particular escritorio") se caracteriza por su estado de$\rho(t)$ en cada tiempo de $t \in R$ (el conjunto de los números reales). Aquí $\rho(t)$ es un Hermitian positivo semidefinite, lineal de la clase de seguimiento el operador, en $K$ satisfactorio en todo momento la condición de

$Tr\ \rho(t) = 1$, (normalización)

donde $Tr$ denota la traza.

A3. Un sistema se denomina cerrado en un intervalo de tiempo $[t_1,t_2]$ si se satisface la ecuación de evolución

$d/dt\ \rho(t) = i/\hbar [\rho(t),H] \mbox{ for } t \in [t_1,t_2]$,

y abrir de otra manera. ($\hbar$ es la constante de Planck, y a menudo 1.) Si nada más es evidente por el contexto, un sistema que se supone que ser cerrado.

A4. Además de la energía $H$, otros (densamente definido, auto-adjunto) Hermitian operadores (o vectores de este tipo de operadores), se distinguen como observables. (E. g., las características observables de un sistema de $N$ partículas distinguibles convencionalmente se incluyen para cada partícula varios en 3 dimensiones de los vectores: la posición $x^a$, momentum $p^a$, _orbital_angular_momentum_ $L^a$ y el _spin_vector_ (o vector de Bloch) $\sigma^a$ de las partículas con la etiqueta $a$. Si $u$ es un 3-vector de la unidad de longitud, a continuación,$u \cdot p^a$, $u \cdot L^a$ $u \cdot \sigma^a$ definir el impulso angular orbital el impulso, y el spin de la partícula $a$ dirección $u$.)

A5. Para cualquier sistema en particular, y para todos los vectores $X$ de los observables con desplazamientos de los componentes, que se asocia a un tiempo-dependiente de la monotonía lineal funcional $\langle \cdot\rangle_t$ definición de la expectativa

$\langle f(X)\rangle_t:=Tr\ \rho(t) f(X)$

de limitada funciones continuas $f(X)$ tiempo $t$. (Esto es equivalente a un multivariante probabilidad de medida $d\mu_t(X)$ en el sigma álgebra a través del espectro,$spec(X)$$X$) definido por

$\int d\mu_t(X) f(X) := Tr\ \rho(t) f(X) =\langle f(X)\rangle _t$.

Este sigma álgebra está determinada únicamente.)

A6. Mecánica cuántica predicciones consisten en la predicción de propiedades (normalmente expectativas o probabilidades condicionales) de las medidas definido en el Axioma A5, dado hipótesis razonables acerca de los estados (por ejemplo, el estado del suelo, el estado de equilibrio, etc.)

Axioma A6 especifica que el contenido formal de la mecánica cuántica es cubierto exactamente por lo que se puede deducir de los Axiomas A1-A5 sin cualquier otra cosa añadida (excepto las restricciones que determina los la naturaleza de los estados y observables), y por lo tanto dice que Los axiomas A1-A5 están completas.

La descripción de un determinado sistema cerrado es, por tanto, dada por la especificación de un determinado espacio de Hilbert en A1, el especificación de las cantidades observables en A4, y la especificación de las condiciones de escoger una clase particular de estados (A6). Dado esto, todo lo demás está determinado por la teoría, y por lo tanto es (en principio) predicho por la teoría.

La descripción de un sistema abierto implica, además, la especificación de los detalles de la dinámica de la ley.

Answer 5

Es erróneo pensar en un estado de densidad mixta como una distribución de probabilidad sobre wavefunctions "óntico". Ver la pregunta son estos sistemas dos cuánticos distinguibles? . Se dan dos formas diferentes de preparar un estado cuántico y los wavefunctions "óntico" no estoy de acuerdo, pero ¿sabes qué? Las matrices de densidad aún de acuerdo y nunca podemos notar la diferencia.