¿Encontrar el límite analíticamente cuando las funciones de seno tienen raíces cuadradas?

Question

Encontrar el límite de los analíticamente de la siguiente:

$\lim \limits_{x \to 0} \frac {\sin(\sqrt{2x})}{\sin(\sqrt{5x})} $

El cierra cosa que hemos aprendido en clase acerca de este era que $\sin(x)$ $x$ será igual a $1$, pero no estoy seguro de cómo puedo aplicar esto aquí. Tenga en cuenta que Wolfram Alpha me dice que use la Regla de L'Hospital, pero aún no hemos aprendido que ni siquiera ha oído hablar de que en la clase, sin embargo, y esto es debido lunes, así que dudo que vamos a aprender en los próximos días.

Es allí cualquier manera de la que puedo resolver esto sin de L'Hospital de la Norma o sólo debo seguir adelante y a enseñar a mí? Tenga en cuenta que estamos en el primer capítulo de Cálculo así que por favor no traiga complicados métodos que un primer tiempo de Cálculo estudiante no lo sé.

Answer 1

Para $a$ y $b$ números positivos tenemos\begin{align*} \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin \sqrt{ax}}{\sin \sqrt{bx}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{\sqrt{a}\sin \sqrt{ax}}{\sqrt{ax}}}{\frac{\sqrt{b}\sin \sqrt{bx}}{\sqrt{bx}}} &=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{\sin \sqrt{ax}}{\sqrt{ax}}}{\frac{\sin \sqrt{bx}}{\sqrt{bx}}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\frac{\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin \sqrt{ax}}{\sqrt{ax}}}{\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin \sqrt{bx}}{\sqrt{bx}}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{1}{1}=\sqrt{\frac{a}{b}} \end{align*}

Answer 2

Lo que el límite $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x} {x} = 1 $$ really means is that $\sin x $ behaves like $x $ around $0 $. Therefore, as we approach $0$, $$ \frac{\sin(\sqrt{2x})}{\sin(\sqrt{5x})} \sim \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{5x}}=\sqrt{\frac{2}{5}}. $$